方程式 - 数学考试的准备

方程式 - 查看方程 AX ^ {2} + BX + C = 0在哪里 一个\ neq 0。

数字 A,B,C作为方程式的系数。

方形方程可以具有两个有效的根,一个有效的根或无。

方程式的根数取决于表达的符号,称为判别。

判别方形方程: d = b ^ {2} -4ac.

如果一个 D.> 0,方形方程有两个根源: x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

如果一个 D.= 0,方形方程具有唯一的根 x =  -  \ frac {b} {2a}.

如果一个 D.<0,方程没有有效根。

我们写了几个方程式,检查他们有多少根。

一) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

在这个等式中 a = 3。, b = -4。, c = -9。.

判别方程式方程式 \左(-4 \右)^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ left(-9 \右)= 16 + 108> 0。方程有两个根。

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

在这个等式中 a = 1,\; b = 4,\; c = 4.

判别方程式方程式 4 ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 4 = 0。等式有唯一的根。

请注意,在方程的左侧部分 x ^ {2} + 4x + 4 = 0有一种称为全方形的表达式。确实, x ^ {2} + 4x + 4 = \左(x + 2 \右)^ {2}。我们应用了缩写乘法的公式。

方程式 \左(x + 2 \右)^ {2} = 0它有唯一的根 x = -2。.

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

在这个等式中 a = 3,\; b = -4,\; c = 9.

判别方程式方程式 \左(-4 \右)^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 9 = 16-108<0。没有根。

4)解决方程 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

判别方程式方程式 \左(-3 \右)^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ left(-20 \右)= 9 + 160 = 169> 0。

等式有两个根。

根方程

x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {2a}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}} {2a} = \ frac {3-13} {4} =  -  2.5

vieta定理

求解方程的有用定理 - Vieta定理。

如果一个 x_ {1} и x_ {2} - 方程的根源 AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} =  -  \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

例如,在我们的等式中 2x ^ {2} -3x-20 = 0根的数量是相等的 4-2.5 = 1.5 =  -  \ frac {-3} {2},根系的产品是相等的 4 \ CDOT \左(-2.5 \右)=  -  10 = \ FRAC {-20} {2}.

方程式可以以几种方式解决。可以计算判别或使用vieta定理,有时您可以简单地猜测其中一个根。或双根。

不完整的方形方程

一个方程式,其中一个系数B或C(或两者)为零,称为不完整。在这种情况下,没有必要寻求判别。它更容易解决。

1)考虑等式 2x ^ {2} = 0.

在这个等式中 b = 0。 и c = 0。。明显地 x = 0。 - 等式的唯一根。

2)考虑等式 x ^ {2} -4 = 0。这里 b = 0。和其他系数零不等于。

通过平方差的公式分解工厂方程的左侧部分的最简单方法是。我们得到:

\左(x-2 \右)\ left(x + 2 \右)= 0

如果其中至少一个为零,则两个乘法器的乘积为零。

它的意思是 x = 2。或者 x = -2。.

3)这里是一种类似的等式: x ^ {2} -5 = 0.

只要 5 = \左(\ sqrt {5} \右)^ {2}该等式可以用形式编写:

\左(x-\ sqrt {5} \右)\ left(x + \ sqrt {5} \右)= 0

从这里 x = \ sqrt {5}或者 x =  -  \ sqrt {5}.

4)现在让 B.不是零 c = 0。.

考虑等式 3x ^ {2} + 5x = 0.

它的左部可以分解乘法器,介绍 X。对于括号。我们得到:

x \ left(3x + 5 \右)= 0.

如果其中至少一个为零,则两个乘法器的乘积为零。

它的意思是 x = 0。或者 x =  -  \ frac {5} {3} .

分解一个方形三黑色

x ^ {2} + bx + c = a \ left(x  -  x_ {1} \右)\ left(x-x_ {2} \右).

这里 x_ {1} и x_ {2} - 方程式的根 AX ^ {2} + BX + C = 0.

记住这个公式。有必要解决二次和分数的理性不等式。

例如,我们的等式 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

他的根源 x_ {1} = 4,x_ {2} =  -  2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \左(x-4 \右)\ left(x + 2.5 \右).

有用的LifeHaki解决方程。

1)如果乘以XX的系数a,则求解方程是较容易的,这是正的。这似乎这是一个小事,对吗?但考试中有多少错误由于高中学生忽视了这一“小事”而产生的。

例如,方程式 -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

将其乘以为1,使系数A变为正好程度。我们得到: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

这种等式的判别相等 11 ^ {2} -4 \ cdot 15 \ cdot 2 = 121-120 = 1.

根方程 x_ {1} = \ frac {1} {3},\; x_ {2} = 0.4.

2)在决定方形方程之前,仔细看看它。也许你可以将某些部分的两个部分切割成一些不等于零号码?

这里,例如,等式 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

您可以立即计算判别和根源。可以注意到所有系数 A,B。 и C。它们分为17.对象将等式的两个部分到17,我们得到:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

在这里,您无法计算判别,但立即猜测第一个root: x_ {1} = 1。和第二根 x_ {2} =  -  3Easy位于Vieta定理上。

3)使用分数系数不舒服。例如,方程式 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

你已经猜到了该做什么。乘以每100的等式的两个部分!我们得到:

x ^ {2} + 5x-6 = 0.

该等式的根等于1和-6。

另请参阅:二次函数

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