Kare denklemler - Matematikte sınav için hazırlık

Kare Denklem - Denklemi Göster AX ^ {2} + BX + C = 0nerede A \ NEQ 0.

Sayılar A, b, ckare denklemin katsayıları olarak adlandırılır.

Kare denklemi, bir geçerli kök veya hiçbiri iki geçerli kök olabilir.

Kare denklemin köklerinin sayısı, ayrımcı olarak adlandırılan ifadenin işaretine bağlıdır.

Ayrımcı Kare Denklemi: D = b ^ {2} -4AC.

Eğer bir D.> 0, kare denkleminin iki kök vardır: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

Eğer bir D.= 0, kare denklemi tek kök var X = - \ frac {b} {2a}.

Eğer bir D.<0, kare denkleminin geçerli kökleri yoktur.

Birkaç kare denklem yazıyoruz ve kaç tane kök olduğunu kontrol ediyoruz.

bir) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

Bu denklemde a = 3., B = -4., C = -9..

Ayrımcı denklem denklemleri \ sol (-4 \ sağ) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT \ Sol (-9 \ sağ) = 16 + 108> 0. Denklemin iki kök vardır.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

Bu denklemde a = 1, \; b = 4, \; c = 4.

Ayrımcı denklem denklemleri 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0. Denklem tek köke var.

Denklemin sol kısmında olduğunu unutmayın. x ^ {2} + 4x + 4 = 0Tam kare olarak adlandırılan bir ifade var. Gerçekten, x ^ {2} + 4x + 4 = \ sol (x + 2 \ sağ) ^ {2}. Kısaltılmış çarpma formülünü uyguladık.

Denklem \ sol (x + 2 \ sağ) ^ {2} = 0Tek köke var x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

Bu denklemde a = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Ayrımcı denklem denklemleri \ Sol (-4 \ sağ) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. Kök yok.

4) Denklem Çözme 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Ayrımcı denklem denklemleri \ Sol (-3 \ sağ) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ Sol (-20 \ sağ) = 9 + 160 = 169> 0.

Denklemin iki kökleri var.

Kök denklemleri

X_ {1} = \ frac {-B + \ sqrt {d} {3 {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d} {{2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Vieta teoremi

Kare denklemleri çözmek için faydalı teorem - Vieta teoremi.

Eğer bir x_ {1} и X_ {2}- Denklemin kökleri AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

Örneğin, denklemimizde 2x ^ {2} -3x-20 = 0Köklerin miktarı eşittir 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}ve köklerin ürünü eşittir 4 \ CDOT \ Sol (-2.5 \ sağ) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

Kare denklemi birkaç şekilde çözülebilir. Ayrımcıyı hesaplamak veya Vieta teoremini kullanmak mümkündür ve bazen köklerden birini tahmin edebilirsiniz. Veya her iki kök.

Eksik kare denklemler

B veya C katsayılarından birinin (veya ikisi de) bir kare denklemi, eksik olarak sıfırdır. Bu gibi durumlarda, ayrımcı aramak gerekli değildir. Çözmek daha kolaydır.

1) denklemi düşünün 2x ^ {2} = 0.

Bu denklemde B = 0. и C = 0.. Açıkça x = 0.- Denklemin tek kökü.

2) denklemi düşünün x ^ {2} -4 = 0. Buraya B = 0.ve sıfır diğer katsayılar eşit değildir.

Fabrika denklemlerinin sol kısmını kare farkın formülü ile parçalamanın en kolay yoludur. Alıyoruz:

\ Sol (x-2 \ sağ) \ sol (x + 2 \ sağ) = 0

İki çarpmanızın ürünü sıfır ise ve yalnızca en az birinin sıfır ise.

Anlamı x = 2.veya x = -2..

3) Burada benzer bir denklem: x ^ {2} -5 = 0.

Gibi 5 = \ sol (\ sqrt {5} \ sağ) ^ {2}Denklem formunda yazılabilir:

\ sol (x- \ sqrt {5} \ sağ) \ sol (x + \ sqrt {5} \ sağ) = 0

Buradan X = \ sqrt {5}veya X = - \ sqrt {5}.

4) şimdi izin B.sıfır değil ve C = 0..

Denklemi düşünün 3x ^ {2} + 5x = 0.

Sol kısmı çarpanlar üzerinde ayrıştırılabilir, tanıtmak X.parantez için. Alıyoruz:

X \ sol (3x + 5 \ sağ) = 0.

İki çarpmanızın ürünü sıfır ise ve yalnızca en az birinin sıfır ise.

Anlamı x = 0.veya X = - \ frac {5} {3} .

Bir kare üç melanın ayrışması

AX ^ {2} + BX + C = a \ sol (x - x_ {1} \ sağ) \ sol (x-x_ {2} \ sağ).

Buraya x_ {1} и X_ {2}- Kare denklemin kökleri AX ^ {2} + BX + C = 0.

Bu formülü hatırla. Kuadratik ve kesirli rasyonel eşitsizlikleri çözmek için gereklidir.

Örneğin, denklemimiz 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Kökleri x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ Sol (x-4 \ sağ) \ Sol (x + 2.5 \ sağ).

Faydalı LifeHaki kare denklemleri çözmek için.

1) XX tarafından çarpılan A katsayısı pozitif ise, kare bir denklemi çözmek çok daha kolaydır. Görünüşe göre bu bir önemsemiyor, değil mi? Ancak, sınavda kaç hata, lise öğrencisinin bu "önemseymesini" görmezden geldiğinden dolayı ortaya çıkıyor.

Örneğin, denklem -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Bir katsayısı pozitif hale getirilmesi için 1'e çarpması çok daha kolaydır. Alıyoruz: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Bu denklemin ayrımcılığı eşittir 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Kök denklemleri X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4.

2) Kare denklemi karar vermeden önce dikkatlice bakın. Belki bazı parçaların her iki bölümünü de bazıları eşit sıfır numarasına kadar kesebilirsiniz?

Burada, örneğin, denklem 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Derhal ayrımcı ve kökleri hemen sayabilirsiniz. Ve tüm katsayıların belirtilmesi A, B. и C.Onlar 17'ye ayrılırlar. Denklemin her iki bölümünü 17'ye kadar eşyalar, biz:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Burada ayrımcılığı sayamazsınız, ancak hemen ilk kök tahmin edin: X_ {1} = 1. Ve ikinci kök X_ {2} = - 3Kolay Vieta teoreminde bulunur.

3) Kesirli katsayılarla çalışmak rahatsız edicidir. Örneğin, denklem 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

Ne yapacağını zaten tahmin ettin. Denklemin her iki bölümünü de 100 başına çarpın! Alıyoruz:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Bu denklemin kökleri 1 ve -6'ya eşittir.

Ayrıca bakınız: ikinci dereceden fonksiyon

Новости

Добавить комментарий