Kvadratiska ekvationer - Förberedelse för tentamen i matematik

11.03.2021

Kvadratisk ekvation - Visa ekvation $AX ^ {2} + BX + C = 0$ var $A \ NEQ 0.$

Tal $A, B, C$ kallad koefficienterna för den kvadratiska ekvationen.

Den kvadratiska ekvationen kan ha två giltiga rötter, en giltig rot eller ingen.

Antalet rötter av den kvadratiska ekvationen beror på tecknet på uttrycket, som kallas diskriminering.

Diskriminerande kvadratisk ekvation: $D = b ^ {2} -4Ac$ .

Om en $D.$ > 0, den kvadratiska ekvationen har två rötter: $X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a}$ и $X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}$ .

Om en $D.$ = 0, den kvadratiska ekvationen har den enda roten $X = - \ frac {b} {2a}$ .

Om en $D.$ <0, den kvadratiska ekvationen har inga giltiga rötter.

Vi skriver flera fyrkantiga ekvationer och kontrollera hur många rötter de har.

ett) $3x ^ {2} -4x-9 = 0$

I denna ekvation $A = 3.$ , $B = -4.$ , $C = -9.$ .

Diskriminerande ekvationer Ekvationer $\ vänster (-4 \ höger) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ vänster (-9 \ höger) = 16 + 108$ > 0. Ekvationen har två rötter.

2) $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$

I denna ekvation $A = 1, \; b = 4, \; c = 4$ .

Diskriminerande ekvationer Ekvationer $4 ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 4 = 0$ . Ekvationen har den enda roten.

Observera att i den vänstra delen av ekvationen $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$ Det finns ett uttryck som kallas en hel torg. Verkligen, $x ^ {2} + 4x + 4 = \ vänster (x + 2 \ höger) ^ {2}$ . Vi tillämpade formeln för förkortad multiplikation.

Ekvationen $\ vänster (x + 2 \ höger) ^ {2} = 0$ Den har den enda roten $x = -2.$ .

3) $3x ^ {2} -4x + 9 = 0$ .

I denna ekvation $a = 3, \; b = -4, \; c = 9$ .

Diskriminerande ekvationer Ekvationer $\ Vänster (-4 \ höger) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 9 = 16-108$ <0. Inga rötter.

4) Lös ekvation $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

Diskriminerande ekvationer Ekvationer $\ Vänster (-3 \ höger) ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ vänster (-20 \ höger) = 9 + 160 = 169$ > 0.

Ekvationen har två rötter.

Rotekvationer

$X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4$

$X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5$

Vieta teorem

Användbar teorem för att lösa kvadratiska ekvationer - Vieta-teorem.

Om en $X_ {1}$ и $X_ {2}$ - ekvationens rötter $AX ^ {2} + BX + C = 0$ T. $x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}$ , $x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}$ .

Till exempel, i vår ekvation $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ Mängden rötter är lika $4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}$ , och produkten av rötterna är lika $4 \ cdot \ vänster (-2.5 \ höger) = - 10 = \ frac {-20} {2}$ .

Den kvadratiska ekvationen kan lösas på flera sätt. Det är möjligt att beräkna diskrimineringen, eller använda Vieta-teoret, och ibland kan du helt enkelt gissa en av rötterna. Eller båda roten.

Ofullständiga kvadratiska ekvationer

En kvadratisk ekvation i vilken en av koefficienterna B eller C (eller båda) är noll, kallad ofullständig. I sådana fall är det inte nödvändigt att söka diskriminering. Det är lättare att lösa.

1) Tänk på ekvationen $2x ^ {2} = 0$ .

I denna ekvation $B = 0.$ и $C = 0.$ . Självklart $x = 0.$ - Den enda roten till ekvationen.

2) Tänk på ekvationen $x ^ {2} -4 = 0$ . Här $B = 0.$ och andra koefficienter noll är inte lika.

Det enklaste sättet att sönderdela den vänstra delen av fabriksekvationerna med formeln för kvadratskillnaden är. Vi får:

$\ Vänster (x-2 \ höger) \ vänster (x + 2 \ höger) = 0$

Produkten av två multiplikatorer är noll om och endast om åtminstone en av dem är noll.

Det betyder $x = 2.$ eller $x = -2.$ .

3) Här är en liknande ekvation: $x ^ {2} -5 = 0$ .

I den mån som $5 = \ vänster (\ sqrt {5} \ höger) ^ {2}$ Ekvationen kan skrivas i formuläret:

$\ vänster (x- \ sqrt {5} \ höger) \ vänster (x + \ sqrt {5} \ höger) = 0$

Härifrån $X = \ sqrt {5}$ eller $X = - \ sqrt {5}$ .

4) Låt nu $B.$ inte noll och $C = 0.$ .

Tänk på ekvationen $3x ^ {2} + 5x = 0$ .

Den vänstra delen kan sönderdelas på multiplikatorer, introducera $X.$ för parentes. Vi får:

$X \ vänster (3x + 5 \ höger) = 0$ .

Produkten av två multiplikatorer är noll om och endast om åtminstone en av dem är noll.

Det betyder $x = 0.$ eller $X = - \ frac {5} {3}$ .

Sönderdelning av en kvadrat tre-melan

$AX ^ {2} + bx + c = A \ vänster (x - x_ {1} \ höger) \ vänster (x-x_ {2} \ höger)$ .

Här $X_ {1}$ и $X_ {2}$ - Rötter av den kvadratiska ekvationen $AX ^ {2} + BX + C = 0$ .

Kom ihåg den här formeln. Det är nödvändigt att lösa kvadratiska och fraktionerade rationella ojämlikheter.

Till exempel, vår ekvation $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

Hans rötter $X_ {1} = 4$ , $X_ {2} = - 2,5$ .

$2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ vänster (x-4 \ höger) \ vänster (x + 2,5 \ höger)$ .

Användbar LifeHaki för att lösa kvadratiska ekvationer.

1) Det är mycket lättare att lösa en fyrkantig ekvation om koefficienten A, som multipliceras med XX, är positiv. Det verkar som om det här är en bagatell, eller hur? Men hur många misstag på tentamen uppstår på grund av det faktum att gymnasiet ignorerar denna "bagatell".

Till exempel ekvation $-15x ^ {2} + 11x-2 = 0$ .

Det är mycket lättare att multiplicera det till 1 så att koefficienten A blir positiv. Vi får: $15x ^ {2} -11x + 2 = 0$ .

Diskriminering av denna ekvation är lika $11 ^ {2} -4 \ cdot 15 \ cdot 2 = 121-120 = 1$ .

Rotekvationer $X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0,4$ .

2) Innan du bestämmer den kvadratiska ekvationen, titta noga på det. Kanske kan du klippa båda delarna av vissa delar till vissa inte lika nollnummer?

Här, till exempel ekvationen $17x ^ {2} + 34x-51 = 0$ .

Du kan omedelbart räkna diskriminerande och rötter. Och det kan noteras att alla koefficienter $A, B.$ и $C.$ De är uppdelade i 17. Objekt Båda delar av ekvationen till 17, vi får:

$x ^ {2} + 2x-3 = 0$ .

Här kan du inte räkna diskrimineringen, men gissa omedelbart den första roten: $X_ {1} = 1$ . Och den andra roten $X_ {2} = - 3$ Lätt ligger på Vieta-teorem.