Ecuații pătrate - Pregătirea pentru examen în matematică

Ecuația pătrată - vizualizați ecuația AX ^ {2} + BX + C = 0Unde A \ neq 0.

Numere A, B, Cdenumite coeficienții ecuației pătrate.

Ecuația pătrată poate avea două rădăcini valide, o rădăcină valabilă sau nici unul.

Numărul de rădăcini ale ecuației pătrate depinde de semnul expresiei, care este numit discriminatoriu.

Ecuația pătratică discriminantă: D = b ^ {2} -4ac.

În cazul în care o D.> 0, ecuația pătrată are două rădăcini: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и X_ {2} = \ frac {-B- \ sqrt {d}} {2a}.

În cazul în care o D.= 0, ecuația pătrată are singura rădăcină X = - \ frac {b} {2a}.

În cazul în care o D.<0, ecuația pătrată nu are rădăcini valide.

Scriem câteva ecuații pătrate și verificăm câte rădăcini au.

unu) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

În această ecuație A = 3., B = -4., C = -9..

Ecuațiile ecuațiilor discriminante \ stânga (-4 \ dreapta) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ cdot \ stânga (-9 \ dreapta) = 16 + 108> 0. Ecuația are două rădăcini.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

În această ecuație A = 1, \; b = 4, \; c = 4.

Ecuațiile ecuațiilor discriminante 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0. Ecuația are singura rădăcină.

Rețineți că în partea stângă a ecuației x ^ {2} + 4x + 4 = 0Există o expresie numită pătrat plină. Intr-adevar, x ^ {2} + 4x + 4 = \ stânga (x + 2 \ dreapta) ^ {2}. Am aplicat formula de multiplicare abreviată.

Ecuația \ stânga (x + 2 \ dreapta) ^ {2} = 0Are singura rădăcină x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

În această ecuație A = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Ecuațiile ecuațiilor discriminante \ Stânga (-4 \ dreapta) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. Nu există rădăcini.

4) Rezolvați ecuația 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Ecuațiile ecuațiilor discriminante \ Stânga (-3 \ dreapta) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ stânga (-20 \ dreapta) = 9 + 160 = 169> 0.

Ecuația are două rădăcini.

Ecuațiile rădăcinilor

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-B- \ sqrt {d}} {2a} = \ Frac {3-13} {4} = - 2.5

Teorema Vieta.

Teorema utilă pentru rezolvarea ecuațiilor pătrate - Teorema Vieta.

În cazul în care o x_ {1} и X_ {2}- rădăcini ale ecuației AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

De exemplu, în ecuația noastră 2x ^ {2} -3x-20 = 0Cantitatea de rădăcini este egală 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}, iar produsul rădăcinilor este egal 4 \ cdot \ stânga (-2,5 \ dreapta) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

Ecuația pătrată poate fi rezolvată în mai multe moduri. Este posibilă calcularea discriminatorului sau utilizarea teoremei Vieta și, uneori, puteți ghici una dintre rădăcini. Sau ambele rădăcini.

Ecuații incomplete pătrate

O ecuație pătrată în care unul dintre coeficienții B sau C (sau ambii dintre ei) este zero, numit incomplet. În astfel de cazuri, nu este necesar să se solicite discriminator. Este mai ușor de rezolvat.

1) Luați în considerare ecuația 2x ^ {2} = 0.

În această ecuație B = 0. и C = 0.. Evident x = 0.- Singura rădăcină a ecuației.

2) Luați în considerare ecuația x ^ {2} -4 = 0. Aici B = 0.și alți coeficienți zero nu sunt egali.

Cea mai ușoară modalitate de a descompune partea stângă a ecuațiilor din fabrică prin formula diferenței pătrate este. Primim:

\ Stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta) = 0

Produsul a doi multiplicatori este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este zero.

Inseamna x = 2.sau x = -2..

3) Iată o ecuație similară: x ^ {2} -5 = 0.

În măsura în care 5 = \ stânga (\ sqrt {5} \ dreapta) ^ {2}Ecuația poate fi scrisă sub formă:

\ stânga (x- \ sqrt {5} \ dreapta) \ stânga (x + \ sqrt {5} \ dreapta) = 0

De aici X = \ sqrt {5}sau X = - \ sqrt {5}.

4) Lăsați acum B.nu zero și. C = 0..

Luați în considerare ecuația 3x ^ {2} + 5x = 0.

Partea stângă poate fi descompusă pe multiplicatori, introducând X.pentru paranteze. Primim:

X \ stânga (3x + 5 \ dreapta) = 0.

Produsul a doi multiplicatori este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este zero.

Inseamna x = 0.sau X = - \ frac {5} {3} .

Descompunerea unui pătrat trei-melan

Ax ^ {2} + bx + c = a \ stânga (x - x_ {1} \ dreapta) \ stânga (x-x_ {2} \ dreapta).

Aici x_ {1} и X_ {2}- rădăcini ale ecuației pătrate AX ^ {2} + BX + C = 0.

Amintiți-vă această formulă. Este necesar să se rezolve inegalitățile raționale patratice și fracționate.

De exemplu, ecuația noastră 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Rădăcinile lui x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ stânga (x-4 \ dreapta) \ stânga (x + 2.5 \ dreapta).

Lifehaki utili pentru a rezolva ecuațiile pătrate.

1) Este mult mai ușor să rezolvați o ecuație pătrată dacă coeficientul A, care este înmulțit cu xx, este pozitiv. Se pare că este un lucru, nu? Dar câte greșeli apar din examen datorită faptului că studentul de liceu ignoră acest "minciună".

De exemplu, ecuația -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Este mult mai ușor să o multiplicați la 1, astfel încât coeficientul A devine pozitiv. Primim: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Discriminanța acestei ecuații este egală 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Ecuațiile rădăcinilor X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4.

2) Înainte de a decide ecuația pătrată, uitați-vă cu atenție. Poate puteți reduce ambele părți ale unor părți la un număr de zero nu egali?

Aici, de exemplu, ecuația 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Puteți număra imediat discriminanța și rădăcinile. Și se poate observa că toți coeficienții A, B. и C.Ele sunt împărțite în 17. Obiecte Ambele părți ale ecuației la 17, obținem:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Aici nu puteți număra discriminanța, dar ghiciți imediat prima rădăcină: X_ {1} = 1. Și cea de-a doua rădăcină X_ {2} = - 3Easy este situat pe teorema Vieta.

3) Lucrul cu coeficienții fracționari este incomod. De exemplu, ecuația 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

Ați ghicit deja ce să faceți. Multiplicați ambele părți ale ecuației la 100! Primim:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații sunt egale cu 1 și -6.

Vedeți și: Funcția patrată

Новости

Добавить комментарий