Equações quadradas - Preparação para o exame em matemática

Equação Quadrada - Exibir Equação AX ^ {2} + bx + c = 0Onde Um \ neq 0.

Números A, B, Creferido como os coeficientes da equação quadrada.

A equação quadrada pode ter duas raízes válidas, uma raiz válida ou nenhuma.

O número de raízes da equação quadrada depende do sinal da expressão, que é chamado discriminante.

Equação Quadrada Discriminante: D = b ^ {2} -4ac.

Se um D.> 0, a equação quadrada tem duas raízes: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

Se um D.= 0, a equação quadrada tem a única raiz X = - \ frac {b} {2a}.

Se um D.<0, a equação quadrada não tem raízes válidas.

Escrevemos várias equações quadradas e verificam quantas raízes eles têm.

1) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

Nesta equação a = 3., B = -4., C = -9..

Equações de equações discriminantes \ left (-4 \ direita) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ left (-9 \ direito) = 16 + 108> 0. A equação tem duas raízes.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

Nesta equação a = 1, \; b = 4, \; c = 4.

Equações de equações discriminantes 4 ^ {2} -4 \ Cdot 1 \ Cdot 4 = 0. A equação tem a única raiz.

Note que na parte esquerda da equação x ^ {2} + 4x + 4 = 0Há uma expressão que é chamada de quadrado completo. De fato, x ^ {2} + 4x + 4 = \ left (x + 2 \ direito) ^ {2}. Aplicamos a fórmula da multiplicação abreviada.

A equação \ left (x + 2 \ direita) ^ {2} = 0Tem a única raiz x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

Nesta equação a = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Equações de equações discriminantes \ Esquerda (-4 \ direita) ^ {2} -4 \ Cdot 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. Nenhuma raízes.

4) Resolva a equação 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Equações de equações discriminantes \ Left (-3 \ direita) ^ ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ left (-20 \ direito) = 9 + 160 = 169> 0.

A equação tem duas raízes.

Equações raiz

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Vieta Teorema

Teorema útil para resolver equações quadradas - Vieta Teorema.

Se um x_ {1} и X_ {2}- raízes da equação AX ^ {2} + bx + c = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

Por exemplo, em nossa equação 2x ^ {2} -3x-20 = 0A quantidade de raízes é igual 4-2.5 = 1,5 = - \ frac {-3} {2}, e o produto das raízes é igual 4 \ cdot \ left (-2.5 \ direita) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

A equação quadrada pode ser resolvida de várias maneiras. É possível calcular o discriminante, ou usar o teorema de Vieta, e às vezes você pode simplesmente adivinhar uma das raízes. Ou tanto raiz.

Equações quadradas incompletas

Uma equação quadrada em que um dos coeficientes B ou C (ou ambos) é zero, chamado incompleto. Em tais casos, não é necessário procurar discriminante. É mais fácil resolver.

1) Considere a equação 2x ^ {2} = 0.

Nesta equação B = 0. и C = 0.. Obviamente x = 0.- a única raiz da equação.

2) Considere a equação x ^ {2} -4 = 0. Aqui B = 0.e outros coeficientes zero não são iguais.

A maneira mais fácil de se decompor a parte esquerda das equações de fábrica pela fórmula da diferença quadrada é. Nós temos:

\ Left (x-2 \ direita) \ left (x + 2 \ direita) = 0

O produto de dois multiplicadores é zero se e somente se pelo menos um deles é zero.

Isso significa x = 2.ou x = -2..

3) Aqui está uma equação semelhante: x ^ {2} -5 = 0.

Na medida em que 5 = \ left (\ sqrt {5} \ direito) ^ {2}A equação pode ser escrita na forma:

\ left (x- \ sqrt {5} \ direito) \ left (x + \ sqrt {5} \ direito) = 0

Daqui X = \ sqrt {5}ou X = - \ sqrt {5}.

4) deixe agora B.não zero e. C = 0..

Considere a equação 3x ^ {2} + 5x = 0.

Sua parte esquerda pode ser decomposta em multiplicadores, introduzindo X.para colchetes. Nós temos:

X \ esquerda (3x + 5 \ direita) = 0.

O produto de dois multiplicadores é zero se e somente se pelo menos um deles é zero.

Isso significa x = 0.ou X = - \ frac {5} {3} .

Decomposição de um quadrado três-melan

AX ^ {2} + bx + c = a \ left (x - x_ {1} \ direito) \ left (x-x_ {2} \ direito).

Aqui x_ {1} и X_ {2}- raízes da equação quadrada AX ^ {2} + bx + c = 0.

Lembre-se desta fórmula. É necessário para resolver desigualdades racionais quadráticas e fracionárias.

Por exemplo, nossa equação 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Suas raízes x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ left (x-4 \ direita) \ esquerda (x + 2.5 \ direita).

Lifehaki útil para resolver equações quadradas.

1) É muito mais fácil resolver uma equação quadrada se o coeficiente A, que é multiplicado por xx, é positivo. Parece que isso é um pouco, certo? Mas quantos erros no exame surge devido ao fato de que o aluno do ensino médio ignora esse "ninharia".

Por exemplo, equação -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

É muito mais fácil multiplicar-o para 1 para que o coeficiente seja positivo. Nós temos: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Discriminante desta equação é igual 11 ^ {2} -4 \ Cdot 15 \ Cdot 2 = 121-120 = 1.

Equações raiz X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0,4.

2) Antes de decidir a equação quadrada, olhe com cuidado. Talvez você possa cortar as duas partes de algumas partes para algum número zero não igual?

Aqui, por exemplo, a equação 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Você pode contar imediatamente discriminantes e raízes. E pode-se notar que todos os coeficientes A, B. и C.Eles são divididos em 17. Objetos ambas as partes da equação para 17, recebemos:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Aqui você não pode contar o discriminante, mas imediatamente adivinhar a primeira raiz: X_ {1} = 1. E a segunda raiz X_ {2} = - 3Fácil está localizado no teorema de Vieta.

3) Trabalhar com coeficientes fracionários é desconfortável. Por exemplo, equação 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

Você já adivinhou o que fazer. Multiplique as duas partes da equação por 100! Nós temos:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

As raízes desta equação são iguais a 1 e -6.

Veja também: função quadrática

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