Równania kwadratowe - przygotowanie do egzaminu w matematyce

Równanie kwadratu - Wyświetl równanie AX ^ {2} + BX + C = 0gdzie Nec 0.

Liczby A, B, Cokreślany jako współczynniki równania kwadratu.

Równanie kwadratu może mieć dwa poprawne korzenie, jeden ważny root lub brak.

Liczba korzeni równania kwadratowego zależy od znaku wyrażenia, który jest nazywany dyskryminującym.

Dyskryminujące równanie kwadratowe: D = b ^ {2} -4ac.

Jeśli RE.> 0, równanie kwadratowe ma dwa korzenie: X_ {1} = frac {-b + sqrt {d.} {2a} и X_ {2} = frac {-b- sqrt {d.} {2a}.

Jeśli RE.= 0, równanie kwadratowe ma jedyny root X = - frac {b} {2a}.

Jeśli RE.<0, równanie kwadratowe nie ma prawidłowych korzeni.

Piszemy kilka równań kwadratowych i sprawdź, ile ma korzeni.

jeden) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

W tym równaniu a = 3., B = -4., C = -9..

Równania równań dyskryminujących Left (-4 right) ^ {2} -4 CDOT 3 CDOT Left (-9 Po prawej) = 16 + 108> 0. Równanie ma dwa korzenie.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

W tym równaniu A = 1, B = 4, C = 4.

Równania równań dyskryminujących 4 ^ {2} -4 CDOT 1 CDOT 4 = 0. Równanie ma jedyny root.

Zauważ, że w lewej części równania x ^ {2} + 4x + 4 = 0Istnieje wyrażenie, które nazywa się pełnym kwadratem. W rzeczy samej, x ^ {2} + 4x + 4 = Left (x + 2 po prawej) ^ {2}. Zastosowaliśmy formułę skróconego mnożenia.

Równanie Left (x + 2 po prawej) ^ {2} = 0Ma jedyny root x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

W tym równaniu A = 3 ,; b = -4 ,; c = 9.

Równania równań dyskryminujących Left (-4 po prawej) ^ {2} -4 CDOT 3 CDOT 9 = 16-108<0. Bez korzeni.

4) Rozwiązuj równanie 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Równania równań dyskryminujących Lewa (-3 PRAWO) ^ {2} -4 CDOT 2 CDOT Left (-20 Prawo) = 9 + 160 = 169> 0.

Równanie ma dwa korzenie.

Równania korzeniowe.

X_ {1} = frac {-b + sqrt {d}} {2a} = frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = frac {-b- sqrt {d}} {2a} = frac {3-13} {4} = - 2.5

Twierdzenie Vieta.

Przydatne twierdzenie dotyczące rozwiązywania równań kwadratowych - twierdzenie Vieta.

Jeśli x_ {1} и X_ {2}- korzenie równania AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = frac {c} {a}.

Na przykład, w naszym równaniu 2x ^ {2} -3x-20 = 0Ilość korzeni jest równa 4-2.5 = 1,5 = - frac {-3} {2}, a produkt korzeni jest równy 4 CDOT Left (-2.5 Prawo) = - 10 = frac {-20} {2}.

Równanie kwadratowe można rozwiązać na kilka sposobów. Możliwe jest obliczenie dyskryminacji lub używania twierdzenia Viety, a czasami możesz po prostu odgadnąć jeden z korzeni. Lub obu root.

Niekompletne równania kwadratowe.

Równanie kwadratowe, w którym jeden ze współczynników B lub C (lub obu) jest zero, zwany niekompletnym. W takich przypadkach nie jest konieczne szukać dyskryminacji. Łatwiej jest rozwiązać.

1) Rozważmy równanie 2x ^ {2} = 0.

W tym równaniu B = 0. и C = 0.. Oczywiście x = 0.- jedyny korzeń równania.

2) Rozważmy równanie x ^ {2} -4 = 0. Tutaj B = 0.a inne współczynniki zero nie są równe.

Najłatwiejszy sposób rozkładu lewej części równań fabrycznych według wzoru różnicy kwadratowej. Dostajemy:

Left (x-2 po prawej) lewą (x + 2 po prawej) = 0

Produkt dwóch mnożników wynosi zero, jeśli przynajmniej jeden z nich jest zero.

To znaczy x = 2.lub x = -2..

3) Oto podobne równanie: x ^ {2} -5 = 0.

ISOFAR AS. 5 = Left (sqrt {5} po prawej) ^ {2}Równanie można zapisać w formie:

Left (x- sqrt {5} po prawej) lewej (x + sqrt {5} po prawej) = 0

Stąd X = sqrt {5}lub X = - sqrt {5}.

4) Niech B.nie zero i. C = 0..

Rozważ równanie 3x ^ {2} + 5x = 0.

Jego lewa część może być rozkładana na mnożnikach, wprowadzając X.na wsporniki. Dostajemy:

X Left (3x + 5 prawy) = 0.

Produkt dwóch mnożników wynosi zero, jeśli przynajmniej jeden z nich jest zero.

To znaczy x = 0.lub X = - frac {5} {3} .

Rozkład kwadratowy trzy-melan

AX ^ {2} + BX + C = A. X - X_ {1} Po prawej) Left (X-X_ {2} Prawo).

Tutaj x_ {1} и X_ {2}- korzenie równania kwadratu AX ^ {2} + BX + C = 0.

Pamiętaj o tym formule. Jest to konieczne do rozwiązywania kwadratowych i ułamkowych nierówności.

Na przykład nasze równanie 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Jego korzenie x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 Left (X-4 Po prawej) Left (X + 2.5 Prawo).

Przydatne lifehaki do rozwiązania równań kwadratowych.

1) Znacznie łatwiej jest rozwiązać równanie kwadratowe, jeśli współczynnik A, który jest pomnożony przez XX, jest dodatni. Wydaje się, że jest to drobiazg, prawda? Ale ile błędów powstaje na egzaminie ze względu na fakt, że uczeń liceum ignoruje to "drobiazg".

Na przykład równanie -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

O wiele łatwiej jest pomnożyć go do 1, aby współczynnik stał się pozytywny. Dostajemy: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Dyskryminujący tego równania jest równy 11 ^ {2} -4 CDOT 15 CDOT 2 = 121-120 = 1.

Równania korzeniowe. X_ {1} = frac {1} {3} ,; x_ {2} = 0,4.

2) Przed podjęciem podjęcia równania kwadratu, spójrz na to ostrożnie. Może możesz wyciąć obie części części do niektórych niezrównanych liczby zerowej?

Tutaj na przykład równanie 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Możesz natychmiast policzyć dyskryminujący i korzenie. I można zauważyć, że wszystkie współczynniki A, B. и DO.Są podzielone na 17. Obiekty obie części równania do 17, otrzymujemy:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Tutaj nie możesz policzyć dyskryminacji, ale natychmiast odgadnij pierwszy root: X_ {1} = 1. I drugi root X_ {2} = - 3Łatwy znajduje się na twierdzeniu Vieta.

3) Praca z współczynnikami frakcyjnymi jest niewygodna. Na przykład równanie 0,01x ^ {2} + 0,05x-0,06 = 0.

Zgadłeś już, co robić. Pomnóż obie części równania na 100! Dostajemy:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Korzenie tego równania są równe 1 i -6.

Zobacz także: funkcja kwadratowa

Новости

Добавить комментарий