Firkantede ligninger - Forberedelse til eksamen i matematikk

Firkantlig ligning - View ligning Ax ^ {2} + bx + c = 0hvor En \ neq 0.

Tall A, B, Creferert til som koeffisientene til kvadratligningen.

Kvadratkvaliteten kan ha to gyldige røtter, en gyldig rot eller ingen.

Antallet røtter på kvadratligningen avhenger av tegnet av uttrykket, som kalles diskriminering.

Diskriminant firkantlig ligning: D = b ^ {2} -4ac.

Hvis en D.> 0, har kvadratligningen to røtter: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

Hvis en D.= 0, kvadratligningen har den eneste rotten X = - \ frac {b} {2a}.

Hvis en D.Kvadratkvaliteten har ingen gyldige røtter.

Vi skriver flere firkantede ligninger og kontrollerer hvor mange røtter de har.

en) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

I denne ligningen A = 3., B = -4., C = -9..

Diskriminerende ligningslige ligninger \ venstre (-4 \ høyre) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ venstre (-9 \ høyre) = 16 + 108> 0. Ligningen har to røtter.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

I denne ligningen A = 1, \; b = 4, \; c = 4.

Diskriminerende ligningslige ligninger 4 ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 4 = 0. Ligningen har den eneste røtten.

Legg merke til at i den venstre delen av ligningen x ^ {2} + 4x + 4 = 0Det er et uttrykk som kalles et fullt firkant. Faktisk, x ^ {2} + 4x + 4 = \ venstre (x + 2 \ rett) ^ {2}. Vi brukte formelen for forkortet multiplikasjon.

Ligningen \ venstre (x + 2 \ høyre) ^ {2} = 0Den har den eneste røtten x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

I denne ligningen a = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Diskriminerende ligningslige ligninger \ Venstre (-4 \ høyre) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 9 = 16-108<0. Ingen røtter.

4) Løs ligning 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Diskriminerende ligningslige ligninger \ Venstre (-3 \ høyre) ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ venstre (-20 \ høyre) = 9 + 160 = 169> 0.

Ligningen har to røtter.

Rot ligninger

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {D}} {2A} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Vieta theorem.

Nyttig teorem for å løse firkantede ligninger - Vieta theorem.

Hvis en X_ {1} и X_ {2}- Røtter av ligningen Ax ^ {2} + bx + c = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

For eksempel, i vår ligning 2x ^ {2} -3x-20 = 0Mengden røtter er like 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}, og produktet av røttene er like 4 \ cdot \ venstre (-2.5 \ høyre) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

Kvadratligningen kan løses på flere måter. Det er mulig å beregne diskriminant, eller bruk Vieta-teoret, og noen ganger kan du bare gjette en av røttene. Eller begge rot.

Ufullstendige firkantede ligninger

En firkantlig ligning der en av koeffisientene B eller C (eller begge deler) er null, kalt ufullstendig. I slike tilfeller er det ikke nødvendig å søke diskriminerende. Det er lettere å løse.

1) Vurder ligningen 2x ^ {2} = 0.

I denne ligningen B = 0. и C = 0.. Åpenbart x = 0.- Den eneste roten til ligningen.

2) Vurder ligningen x ^ {2} -4 = 0. Her B = 0.og andre koeffisienter null er ikke like.

Den enkleste måten å dekomponere den venstre delen av fabrikklige ligningene med formelen på kvadratforskjellen er. Vi får:

\ Venstre (x-2 \ høyre) \ venstre (x + 2 \ høyre) = 0

Produktet av to multiplikatorer er null hvis og bare hvis minst en av dem er null.

Det betyr x = 2.eller x = -2..

3) Her er en lignende ligning: x ^ {2} -5 = 0.

Insofar As. 5 = \ venstre (\ sqrt {5} \ høyre) ^ {2}Ligningen kan skrives i skjemaet:

\ venstre (x- \ sqrt {5} \ høyre) \ venstre (x + \ sqrt {5} \ høyre) = 0

Herfra X = \ sqrt {5}eller X = - \ sqrt {5}.

4) La nå B.ikke null og C = 0..

Vurdere ligningen 3x ^ {2} + 5x = 0.

Dens venstre del kan dekomponeres på multiplikatorer, introdusere X.for parentes. Vi får:

X \ venstre (3x + 5 \ rett) = 0.

Produktet av to multiplikatorer er null hvis og bare hvis minst en av dem er null.

Det betyr x = 0.eller X = - \ frac {5} {3} .

Dekomponering av en firkantet tre-melan

Ax ^ {2} + bx + c = a \ venstre (x - x_ {1} \ høyre) \ venstre (x-x_ {2} \ rett).

Her X_ {1} и X_ {2}- Røtter på kvadratligningen Ax ^ {2} + bx + c = 0.

Husk denne formelen. Det er nødvendig for å løse kvadratiske og fraksjonelle rasjonelle ulikheter.

For eksempel, vår ligning 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Hans røtter X_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ venstre (x-4 \ høyre) \ venstre (x + 2.5 \ høyre).

Nyttig Lifehaki for å løse firkantede ligninger.

1) Det er mye lettere å løse en firkantet ligning hvis koeffisienten A, som multipliseres med XX, er positiv. Det ser ut til at dette er en bagatell, ikke sant? Men hvor mange feil på eksamen oppstår på grunn av det faktum at videregående student ignorerer denne "bagasjen".

For eksempel, ligning -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Det er mye lettere å formere det til 1 slik at koeffisienten A blir positiv. Vi får: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Diskriminant av denne ligningen er lik 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Rot ligninger X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0,4.

2) Før du bestemmer seg for kvadratligningen, se på den nøye. Kanskje kan du kutte begge deler av enkelte deler til noen ikke like nullnummer?

Her, for eksempel ligningen 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Du kan umiddelbart telle diskriminerende og røtter. Og det kan bemerkes at alle koeffisientene A, B. и C.De er delt inn i 17. Objekter begge deler av ligningen til 17, vi får:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Her kan du ikke telle diskriminant, men gjett umiddelbart den første roten: X_ {1} = 1. Og den andre rotten x_ {2} = - 3Lett er plassert på Vieta Theorem.

3) Arbeide med fraksjonelle koeffisienter er ubehagelig. For eksempel, ligning 0,01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

Du har allerede gjettet hva du skal gjøre. Multipliser begge deler av ligningen for 100! Vi får:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Røttene til denne ligningen er lik 1 og -6.

Se også: kvadratisk funksjon

Новости

Добавить комментарий