Vierkante vergelijkingen - voorbereiding op het examen in wiskunde

Vierkante vergelijking - Bekijk vergelijking AX ^ {2} + BX + C = 0waar A \ NEQ 0.

Nummers A, B, Caangeduid als de coëfficiënten van de vierkante vergelijking.

De vierkante vergelijking kan twee geldige wortels hebben, één geldige root of geen.

Het aantal wortels van de vierkante vergelijking is afhankelijk van het teken van de uitdrukking, dat discriminant wordt genoemd.

Discriminant vierkante vergelijking: D = b ^ {2} -4ac.

Als een D.> 0, de vierkante vergelijking heeft twee wortels: X_ {1} = \ FRAC {-B + \ SQRT {D}} {2A} и X_ {2} = \ FRAC {-B- \ SQRT {D}} {2A}.

Als een D.= 0, de vierkante vergelijking heeft de enige root X = - \ frac {b} {2A}.

Als een D.<0, de vierkante vergelijking heeft geen geldige wortels.

We schrijven verschillende vierkante vergelijkingen en controleren hoeveel wortels ze hebben.

een) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

In deze vergelijking A = 3., B = -4., C = -9..

Discriminante vergelijkingenvergelijkingen \ links (-4 \ rechts) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT \ LINKS (-9 \ RECHTS) = 16 + 108> 0. De vergelijking heeft twee wortels.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

In deze vergelijking A = 1, \; b = 4, \; c = 4.

Discriminante vergelijkingenvergelijkingen 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0​De vergelijking heeft de enige root.

Merk op dat in het linkerdeel van de vergelijking x ^ {2} + 4x + 4 = 0Er is een uitdrukking die een volledig vierkant wordt genoemd. Inderdaad, x ^ {2} + 4x + 4 = \ links (x + 2 \ rechts) ^ {2}​We hebben de formule van verkorte vermenigvuldiging toegepast.

De vergelijking \ linker (x + 2 \ rechts) ^ {2} = 0Het heeft de enige root x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

In deze vergelijking a = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Discriminante vergelijkingenvergelijkingen \ Links (-4 \ rechts) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. Geen wortels.

4) Los vergelijking op 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Discriminante vergelijkingenvergelijkingen \ Linker (-3 \ rechts) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ LINKS (-20 \ RECHT) = 9 + 160 = 169> 0.

De vergelijking heeft twee wortels.

Rootvergelijkingen

X_ {1} = \ FRAC {-B + \ SQRT {D}} {2A} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2A} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Vieta Theorem

Handige stelling voor het oplossen van vierkante vergelijkingen - Vieta Theorem.

Als een x_ {1} и x_ {2}- Wortels van de vergelijking AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

Bijvoorbeeld in onze vergelijking 2x ^ {2} -3x-20 = 0De hoeveelheid wortels is gelijk 4-2.5 = 1,5 = - \ FRAC {-3} {2}en het product van de wortels is gelijk 4 \ CDOT \ LINKS (-2.5 \ RECHTS) = - 10 = \ FRAC {-20} {2}.

De vierkante vergelijking kan op verschillende manieren worden opgelost. Het is mogelijk om de discriminant te berekenen of de Vieta-stelling te gebruiken, en soms kunt u eenvoudig een van de wortels raden. Of beide root.

Onvolledige vierkante vergelijkingen

Een vierkante vergelijking waarbij een van de coëfficiënten B of C (of beide) nul is, onvolledig genoemd. In dergelijke gevallen is het niet nodig om discriminant te zoeken. Het is gemakkelijker om op te lossen.

1) Overweeg de vergelijking 2x ^ {2} = 0.

In deze vergelijking B = 0. и C = 0.​Klaarblijkelijk x = 0.- de enige root van de vergelijking.

2) Overweeg de vergelijking x ^ {2} -4 = 0​Hier B = 0.en andere coëfficiënten nul zijn niet gelijk.

De gemakkelijkste manier om het linkerdeel van de fabrieksvergelijkingen te ontbinden door de formule van het vierkant verschil is. We krijgen:

\ Links (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ rechts) = 0

Het product van twee multipliers is nul als en alleen als ten minste één van hen nul is.

Het betekent x = 2.of x = -2..

3) Hier is een vergelijkbare vergelijking: x ^ {2} -5 = 0.

Voor zover 5 = \ links (\ sqrt {5} \ rechts) ^ {2}De vergelijking kan in het formulier worden geschreven:

\ links (x- \ sqrt {5} \ rechts) \ links (x + \ sqrt {5} \ rechts) = 0

Vanaf hier X = \ sqrt {5}of X = - \ sqrt {5}.

4) Laat nu B.niet nul en C = 0..

Overweeg de vergelijking 3x ^ {2} + 5x = 0.

Het linkerdeel kan worden ontleed aan vermenigvuldigers, introduceren X.voor haakjes. We krijgen:

X \ links (3x + 5 \ rechts) = 0.

Het product van twee multipliers is nul als en alleen als ten minste één van hen nul is.

Het betekent x = 0.of X = - \ frac {5} {3} .

Ontbinding van een vierkante drie-melan

AX ^ {2} + BX + C = A \ LINKS (X - X_ {1} \ RECHTS) \ LINKS (X-X_ {2} \ RECHTS).

Hier x_ {1} и x_ {2}- Wortels van de vierkante vergelijking AX ^ {2} + BX + C = 0.

Onthoud deze formule. Het is noodzakelijk voor het oplossen van kwadratische en fractionele rationele ongelijkheden.

Bijvoorbeeld onze vergelijking 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Zijn wortels X_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ links (x-4 \ rechts) \ links (x + 2.5 \ rechts).

Nuttige reddingshaki om vierkante vergelijkingen op te lossen.

1) Het is veel gemakkelijker om een ​​vierkante vergelijking op te lossen als de coëfficiënt A, die wordt vermenigvuldigd met xx, positief is. Het lijkt erop dat dit een kleinigheid is, toch? Maar hoeveel fouten op het examen ontstaat vanwege het feit dat de student op de middelbare school dit "Trekle" negeert.

Bijvoorbeeld vergelijking -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Het is veel gemakkelijker om het te vermenigvuldigen met 1 zodat de coëfficiënt A positief wordt. We krijgen: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Discriminant van deze vergelijking is gelijk 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Rootvergelijkingen X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4.

2) Voordat u de vierkante vergelijking besluit, bekijkt u deze zorgvuldig. Misschien kun je beide delen van sommige onderdelen snijden naar een of ander nulnummer?

Hier, bijvoorbeeld, de vergelijking 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Je kunt onmiddellijk discriminant en wortels tellen. En het kan worden opgemerkt dat alle coëfficiënten A, B. и C.Ze zijn verdeeld in 17. Objecten beide delen van de vergelijking tot 17, we krijgen:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Hier kunt u de discriminant niet tellen, maar raden onmiddellijk de eerste root: X_ {1} = 1​En de tweede root X_ {2} = - 3Makkelijk gelegen aan de Vieta-stelling.

3) Werken met fractionele coëfficiënten is ongemakkelijk. Bijvoorbeeld vergelijking 0.01x ^ {2} + 0.05x-0,06 = 0.

Je hebt al geraden wat te doen. Vermenigvuldig beide delen van de vergelijking met 100! We krijgen:

x ^ {2} + 5x-6 = 0.

De wortels van deze vergelijking zijn gelijk aan 1 en -6.

Zie ook: Quadratische functie

Новости

Добавить комментарий