Persamaan persegi - persediaan untuk peperiksaan dalam matematik

11.03.2021

Persamaan persegi - pandangan persamaan $Kapak ^ {2} + bx + c = 0$ di mana sahaja $A \ neq 0.$

Nombor $A, B, C$ dirujuk sebagai koefisien persamaan persegi.

Persamaan persegi mungkin mempunyai dua akar yang sah, satu akar yang sah atau tidak.

Bilangan akar persamaan persegi bergantung kepada tanda ungkapan, yang dipanggil diskriminasi.

Persamaan persegi yang diskriminasi: $D = b ^ {2} -4ac$ .

Sekiranya $D.$ > 0, persamaan persegi mempunyai dua akar: $X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a}$ и $X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}$ .

Sekiranya $D.$ = 0, persamaan persegi mempunyai satu-satunya akar $X = - \ frac {b} {2a}$ .

Sekiranya $D.$ <0, persamaan persegi tidak mempunyai akar yang sah.

Kami menulis beberapa persamaan persegi dan memeriksa berapa banyak akar yang mereka miliki.

satu) $3x ^ {2} -4x-9 = 0$

Dalam persamaan ini $a = 3.$ , $B = -4.$ , $C = -9.$ .

Persamaan persamaan diskriminasi. $\ left (-4 \ right) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ left (-9 \ right) = 16 + 108$ > 0. Persamaan mempunyai dua akar.

2) $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$

Dalam persamaan ini $a = 1, \; b = 4, \; c = 4$ .

Persamaan persamaan diskriminasi. $4 ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 4 = 0$ . Persamaan mempunyai satu-satunya akar.

Perhatikan bahawa di bahagian kiri persamaan $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$ Terdapat ungkapan yang dipanggil persegi penuh. Sesungguhnya, $x ^ {2} + 4x + 4 = \ left (x + 2 \ right) ^ {2}$ . Kami menggunakan formula pendaraban ringkas.

Persamaan itu $\ kiri (x + 2 \ kanan) ^ {2} = 0$ Ia mempunyai satu-satunya akar $x = -2.$ .

3) $3x ^ {2} -4x + 9 = 0$ .

Dalam persamaan ini $a = 3, \; b = -4, \; c = 9$ .

Persamaan persamaan diskriminasi. $\ Kiri (-4 \ kanan) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 9 = 16-108$ <0. Tiada akar.

4) Menyelesaikan persamaan $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

Persamaan persamaan diskriminasi. $\ Left (-3 \ right) ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ left (-20 \ right) = 9 + 160 = 169$ > 0.

Persamaan mempunyai dua akar.

Persamaan root.

$X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4$

$X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5$

Vieta Teorem.

Teorem berguna untuk menyelesaikan persamaan persegi - teorem Vieta.

Sekiranya $x_ {1}$ и $x_ {2}$ - akar persamaan $Kapak ^ {2} + bx + c = 0$ T. $x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}$ , $x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}$ .

Sebagai contoh, dalam persamaan kita $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ Jumlah akar adalah sama $4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}$ , dan produk akar adalah sama $4 \ cdot \ kiri (-2.5 \ kanan) = - 10 = \ frac {-20} {2}$ .

Persamaan persegi boleh diselesaikan dalam beberapa cara. Adalah mungkin untuk mengira diskriminasi, atau menggunakan teorem Vieta, dan kadang-kadang anda hanya boleh meneka salah satu akar. Atau kedua-dua akar.

Persamaan persegi tidak lengkap

Persamaan persegi di mana salah satu pekali B atau C (atau kedua-duanya) adalah sifar, yang dipanggil tidak lengkap. Dalam kes sedemikian, tidak perlu untuk mendapatkan diskriminasi. Ia lebih mudah untuk diselesaikan.

1) Pertimbangkan persamaan $2x ^ {2} = 0$ .

Dalam persamaan ini $B = 0.$ и $C = 0.$ . Jelasnya $x = 0.$ - Satu-satunya akar persamaan.

2) Pertimbangkan persamaan $x ^ {2} -4 = 0$ . Di sini $B = 0.$ dan pekali lain sifar tidak sama.

Cara paling mudah untuk mengurai bahagian kiri persamaan kilang dengan formula perbezaan persegi adalah. Kita mendapatkan:

$\ Kiri (X-2 \ kanan) \ Kiri (x + 2 \ kanan) = 0$

Produk dua pengganda adalah sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada mereka adalah sifar.

Ia bermaksud $x = 2.$ atau $x = -2.$ .

3) Berikut adalah persamaan yang sama: $x ^ {2} -5 = 0$ .

Sejauh mana $5 = \ kiri (\ sqrt {5} \ right) ^ {2}$ Persamaan boleh ditulis dalam bentuk:

$\ Kiri (x- \ sqrt {5} \ right) \ left (x + \ sqrt {5} \ right) = 0$

Dari sini $X = \ sqrt {5}$ atau $X = - \ sqrt {5}$ .

4) Biarkan sekarang $B.$ bukan sifar dan $C = 0.$ .

Pertimbangkan persamaan itu $3x ^ {2} + 5x = 0$ .

Bahagian kiri boleh diuraikan pada pengganda, memperkenalkan $X.$ untuk kurungan. Kita mendapatkan:

$X \ left (3x + 5 \ right) = 0$ .

Produk dua pengganda adalah sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada mereka adalah sifar.

Ia bermaksud $x = 0.$ atau $X = - \ frac {5} {3}$ .

Penguraian tiga-melan persegi

$Kapak ^ {2} + bx + c = a \ left (x - x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right)$ .

Di sini $x_ {1}$ и $x_ {2}$ - akar persamaan persegi $Kapak ^ {2} + bx + c = 0$ .

Ingat formula ini. Ia adalah perlu untuk menyelesaikan ketidaksamaan rasional kuadratik dan pecahan.

Sebagai contoh, persamaan kita $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

Akarnya. $X_ {1} = 4$ , $X_ {2} = - 2.5$ .

$2x ^ {2} -3X-20 = 2 \ LEFT (X-4 \ Right) \ Kiri (X + 2.5 \ Right)$ .

Lifehaki berguna untuk menyelesaikan persamaan persegi.

1) Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan persegi jika pekali A, yang didarabkan oleh XX, adalah positif. Nampaknya ini adalah perkara kecil, bukan? Tetapi berapa banyak kesilapan pada peperiksaan timbul kerana hakikat bahawa pelajar sekolah menengah mengabaikan "perkara kecil" ini.

Sebagai contoh, persamaan $-15x ^ {2} + 11x-2 = 0$ .

Lebih mudah untuk membiaknya kepada 1 supaya pekali menjadi positif. Kita mendapatkan: $15x ^ {2} -11x + 2 = 0$ .

Diskriminasi persamaan ini adalah sama $11 ^ {2} -4 \ cdot 15 \ cdot 2 = 121-120 = 1$ .

Persamaan root. $X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4$ .

2) Sebelum memutuskan persamaan persegi, lihat dengan teliti. Mungkin anda boleh memotong kedua-dua bahagian beberapa bahagian untuk beberapa nombor sifar yang tidak sama?

Di sini, sebagai contoh, persamaan $17x ^ {2} + 34x-51 = 0$ .

Anda boleh segera mengira diskriminasi dan akar. Dan ia boleh diperhatikan bahawa semua koefisien $A, B.$ и $C.$ Mereka dibahagikan kepada 17. Objek kedua-dua bahagian persamaan kepada 17, kita dapat:

$x ^ {2} + 2x-3 = 0$ .

Di sini anda tidak boleh mengira diskriminasi, tetapi segera meneka akar pertama: $X_ {1} = 1$ . Dan akar kedua $X_ {2} = - 3$ Mudah terletak di Theorem Vieta.