사각형 방정식 - 수학 시험 준비

정사각형 방정식 - 방정식보기 도끼 ^ {2} + bx + c = 0어디 a \ neq 0.

번호 A, B, C.사각형 방정식의 계수라고합니다.

사각형 방정식에는 두 개의 유효한 뿌리, 하나의 유효한 루트 또는 없음이있을 수 있습니다.

사각형 방정식의 뿌리의 수는 판별라고 불리는 표현의 표시에 따라 다릅니다.

차별 사각형 방정식 : d = b ^ {2} -4ac.

만약 디.> 0, 사각형 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다. x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

만약 디.= 0, 정사각형 방정식은 유일한 루트입니다. x = - \ frac {b} {2a}.

만약 디.<0, 정사각형 방정식에는 유효한 뿌리가 없습니다.

우리는 몇 개의 사각형 방정식을 작성하고 얼마나 많은 뿌리를 가지고 있는지 확인합니다.

하나) 3x ^ {2} -4X-9 = 0

이 방정식에서 a = 3., b = -4., c = -9..

차별 방정식 방정식 \ left (-4 \ right) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT \ 왼쪽 (-9 \ 오른쪽) = 16 + 108> 0. 방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

이 방정식에서 a = 1, \; b = 4, \; c = 4..

차별 방정식 방정식 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0...에 방정식에는 유일한 루트가 있습니다.

방정식의 왼쪽 부분에 유의하십시오 x ^ {2} + 4x + 4 = 0전체 정사각형이라고 불리는 표현식이 있습니다. 과연, x ^ {2} + 4x + 4 = \ left (x + 2 \ 오른쪽) ^ {2}...에 우리는 약식 곱셈의 공식을 적용했습니다.

방정식 \ left (x + 2 \ 오른쪽) ^ {2} = 0그것은 유일한 뿌리가 있습니다 x = -2..

삼) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

이 방정식에서 a = 3, \; b = -4, \; c = 9.

차별 방정식 방정식 \ left (-4 \ right) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. 뿌리가 없습니다.

4) 방정식을 해결합니다 2x ^ {2} -3X-20 = 0.

차별 방정식 방정식 \ left (-3 \ 오른쪽) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ 왼쪽 (-20 \ 오른쪽) = 9 + 160 = 169> 0.

방정식에는 두 개의 뿌리가 있습니다.

뿌리 방정식

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = frac {3 + 13} {4} = 4

x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

vieta 정리

사각형 방정식을 해결하기위한 유용한 이론 - Vieta 정리.

만약 x_ {1} и x_ {2}- 방정식의 뿌리 도끼 ^ {2} + bx + c = 0티. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

예를 들어, 우리의 방정식에서 2x ^ {2} -3X-20 = 0뿌리의 양은 같습니다 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}그리고 뿌리의 생성물은 동일합니다 4 \ CDOT \ 왼쪽 (-2.5 \ 오른쪽) = - 10 = frac {-20} {2}.

정사각형 방정식은 여러 가지 방법으로 해결할 수 있습니다. 판별을 계산하거나 Vieta 정리를 사용하는 것이 가능하고 때로는 뿌리 중 하나를 짐작할 수 있습니다. 또는 뿌리 두.

불완전한 사각형 방정식

계수 B 또는 C 중 하나 (또는 ​​이들 모두) 중 하나가 0 인 정사각형 방정식이 불완전합니다. 그러한 경우에는 차별을 찾을 필요가 없습니다. 해결하기가 더 쉽습니다.

1) 방정식을 고려하십시오 2x ^ {2} = 0..

이 방정식에서 b = 0. и c = 0....에 명백하게 x = 0.- 방정식의 유일한 근원.

2) 방정식을 고려하십시오 x ^ {2} -4 = 0....에 여기 b = 0.다른 계수 0은 동일하지 않습니다.

공장 방정식의 왼쪽 부분을 정사각형 차이의 수식으로 분해하는 가장 쉬운 방법은입니다. 우리는 다음과 같습니다.

\ left (x-2 \ 오른쪽) \ left (x + 2 \ 오른쪽) = 0

두 배례의 제품은 적어도 하나가 0 인 경우에만 0입니다.

그 뜻은 x = 2.또는 x = -2..

3) 여기에 비슷한 방정식이 있습니다. x ^ {2} -5 = 0..

하는 한 5 = \ 왼쪽 (\ sqrt {5} \ \ right) ^ {2}방정식은 형식으로 작성 될 수 있습니다.

\ left (x- \ sqrt {5} \ \ right) \ left (x + \ sqrt {5} \ \ \ \ sqrt {5} \ \ \ sqrt {5} \ \ \ sqrt) = 0

여기에서 x = \ sqrt {5}또는 x = - \ sqrt {5}.

4) 지금합시다 비.0이 아닙니다 c = 0..

방정식을 고려하십시오 3x ^ {2} + 5x = 0..

왼쪽 부분은 곱셈기에서 분해 될 수 있으며 도입 엑스.괄호를 위해. 우리는 다음과 같습니다.

x \ left (3x + 5 \ 오른쪽) = 0.

두 배례의 제품은 적어도 하나가 0 인 경우에만 0입니다.

그 뜻은 x = 0.또는 x = - \ frac {5} {3} .

사각형 3 멜란의 분해

도끼 ^ {2} + bx + c = a \ left (x-x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right).

여기 x_ {1} и x_ {2}- 정사각형 방정식의 뿌리 도끼 ^ {2} + bx + c = 0.

이 공식을 기억하십시오. 그것은 2 차 및 분수 합리적 불평등을 해결할 필요가 있습니다.

예를 들어, 우리의 방정식 2x ^ {2} -3X-20 = 0.

그의 뿌리 x_ {1} = 4.,x_ {2} = - 2.5..

2x ^ {2} -3X-20 = 2 \ 왼쪽 (x-4 \ 오른쪽) \ 왼쪽 (x + 2.5 \ 오른쪽).

사각형 방정식을 해결하기 위해 유용한 Lifehaki.

1) XX를 곱한 계수 A가 곱한 경우 정사각형 방정식을 해결하는 것이 훨씬 쉽습니다. 이것이 사소한 것 같아요, 그렇지? 그러나 고등학생 이이 "사소한"이라는 사실 때문에 시험에 대한 실수는 얼마나 많은 실수가 발생합니다.

예를 들어, 방정식 -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

계수 A가 양성이되도록 그것을 곱하면 훨씬 쉽게 쉽게 쉽게 쉽게 쉽게 쉽게 촉구 할 수 있습니다. 우리는 다음과 같습니다. 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

이 방정식의 판별은 같습니다 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

뿌리 방정식 x_ {1} = \ fRAC {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4.

2) 사각형 방정식을 결정하기 전에 조심스럽게보십시오. 어쩌면 일부 부품의 두 부분을 모두 0으로 줄이는 것은 아닙니다.

여기서, 예를 들어, 식 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

즉시 차별과 뿌리를 세울 수 있습니다. 그리고 모든 계수들도 언급 될 수 있습니다 A, B. и 씨.그들은 17. 방정식의 두 부분으로 나뉘어져 있습니다.

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

여기에서는 차별을 셀 수 없지만 즉시 첫 번째 루트를 추측 할 수 있습니다. x_ {1} = 1....에 두 번째 뿌리 x_ {2} = - 3.쉽게 Vieta 정리에 있습니다.

3) 분수 계수로 작업하는 것은 불편합니다. 예를 들어, 방정식 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

당신은 이미 무엇을 해야할지 짐작했습니다. 방정식의 두 부분을 100으로 곱하십시오! 우리는 다음과 같습니다.

x ^ {2} + 5x-6 = 0.

이 방정식의 뿌리는 1과 -6과 같습니다.

참조 : 2 차 함수

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