Equazioni quadrate - Preparazione per l'esame in matematica

Equazione quadrata - Visualizza equazione AX ^ {2} + BX + C = 0dove A \ neq 0.

Numeri A, b, cindicato come coefficienti dell'equazione quadrata.

L'equazione quadrata può avere due radici valide, una radice valida o nessuna.

Il numero di radici dell'equazione quadrata dipende dal segno dell'espressione, che è chiamato discriminante.

Equazione quadrata discriminante: D = b ^ {2} -4ac.

Se un D.> 0, l'equazione quadrata ha due radici: X_ {1} = \ frac {-B + \ SQRT {D}} {2A} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2A}.

Se un D.= 0, l'equazione quadrata ha l'unica radice X = - \ frac {b} {2a}.

Se un D.<0, l'equazione quadrata non ha radici valide.

Scriviamo diverse equazioni quadrate e controlliamo quante radici hanno.

uno) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

In questa equazione A = 3., B = -4., C = -9..

Equazioni discriminanti equazioni \ sinistra (-4 \ destra) ^ {2} -4 \ clot 3 \ cdot \ sinistra (-9 \ destra) = 16 + 108> 0. L'equazione ha due radici.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

In questa equazione A = 1, \; B = 4, \; c = 4.

Equazioni discriminanti equazioni 4 ^ {2} -4 \ Cdot 1 \ cdot 4 = 0. L'equazione ha l'unica radice.

Si noti che nella parte sinistra dell'equazione x ^ {2} + 4x + 4 = 0C'è un'espressione che è chiamata piazza completa. Infatti, x ^ {2} + 4x + 4 = \ sinistra (x + 2 \ destra) ^ {2}. Abbiamo applicato la formula di moltiplicazione abbreviata.

L'equazione \ sinistra (x + 2 \ destra) ^ {2} = 0Ha l'unica radice x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

In questa equazione A = 3, \; B = -4, \; c = 9.

Equazioni discriminanti equazioni \ Sinistra (-4 \ destra) ^ {2} -4 \ clot 3 \ cdot 9 = 16-108<0. No radici.

4) Risolvi l'equazione 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Equazioni discriminanti equazioni \ Sinistra (-3 \ destra) ^ {2} -4 \ clot 2 \ clot \ sinistra (-20 \ destra) = 9 + 160 = 169> 0.

L'equazione ha due radici.

Equazioni di radice

X_ {1} = \ frac {-B + \ SQRT {D}} {2A} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Vieta teorema

Teorema utile per la risoluzione delle equazioni quadrate - vieta teorema.

Se un x_ {1} и X_ {2}- radici dell'equazione AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

Ad esempio, nella nostra equazione 2x ^ {2} -3x-20 = 0La quantità di radici è uguale 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}, e il prodotto delle radici è uguale 4 \ cdot \ sinistra (-2.5 \ destra) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

L'equazione quadrata può essere risolta in diversi modi. È possibile calcolare il discriminante o utilizzare il teorema Vieta, e talvolta puoi semplicemente indovinare una delle radici. O entrambe le radice.

Equazioni quadrate incomplete

Un'equazione quadrata in cui uno dei coefficienti B o C (o entrambi) è zero, chiamato incompleto. In questi casi, non è necessario cercare discriminanti. È più facile da risolvere.

1) Considera l'equazione 2x ^ {2} = 0.

In questa equazione B = 0. и C = 0.. Ovviamente x = 0.- L'unica radice dell'equazione.

2) Considera l'equazione x ^ {2} -4 = 0. Qui B = 0.E altri coefficienti zero non sono uguali.

Il modo più semplice per decomporre la parte sinistra delle equazioni della fabbrica dalla formula della differenza quadrata è. Noi abbiamo:

\ Sinistra (x-2 \ destra) \ sinistra (x + 2 \ destra) = 0

Il prodotto di due moltiplicatori è zero se e solo se almeno uno di essi è zero.

Significa x = 2.o x = -2..

3) Ecco un'equazione simile: x ^ {2} -5 = 0.

Nella misura in cui 5 = \ SINISTRA (\ SQRT {5} \ DESTRA) ^ {2}L'equazione può essere scritta nella forma:

\ SINISTRA (X- \ SQRT {5} \ DESTRA) \ SINISTRA (X + \ SQRT {5} \ Destra) = 0

Da qui X = \ sqrt {5}o X = - \ sqrt {5}.

4) Lasciamo ora B.non zero e C = 0..

Considera l'equazione 3x ^ {2} + 5x = 0.

La sua parte sinistra può essere decomposta sui moltiplicatori, introducendo X.per parentesi. Noi abbiamo:

X \ sinistra (3x + 5 \ destra) = 0.

Il prodotto di due moltiplicatori è zero se e solo se almeno uno di essi è zero.

Significa x = 0.o X = - \ frac {5} {3} .

Decomposizione di un quadrato a tre melanan

AX ^ {2} + BX + C = A \ Sinistra (X - X_ {1} \ Destra) \ SINISTRA (X-X_ {2} \ Destra).

Qui x_ {1} и X_ {2}- radici dell'equazione quadrata AX ^ {2} + BX + C = 0.

Ricorda questa formula. È necessario per risolvere disuguaglianze razionali quadratiche e frazionate.

Ad esempio, la nostra equazione 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Le sue radici x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ sinistra (x-4 \ destra) \ sinistra (x + 2.5 \ destra).

Utile Lifehaki per risolvere le equazioni quadrate.

1) È molto più facile risolvere un'equazione quadrata se il coefficiente A, che è moltiplicato per XX, è positivo. Sembra che questo sia un po ', giusto? Ma quanti errori sull'esame sorgono a causa del fatto che lo studente della scuola superiore ignora questo "sciocchezze".

Ad esempio, equazione -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

È molto più facile moltiplicarlo a 1 in modo che il coefficiente diventa positivo. Noi abbiamo: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Discriminante di questa equazione è uguale 11 ^ {2} -4 \ Cdot 15 \ cdot 2 = 121-120 = 1.

Equazioni di radice X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4.

2) Prima di decidere l'equazione quadrata, guardala attentamente. Forse puoi tagliare entrambe le parti di alcune parti a qualche numero non uguale a zero?

Qui, ad esempio, l'equazione 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Puoi contare immediatamente discriminanti e radici. E può essere notato che tutti i coefficienti A, B. и C.Sono divisi in 17. Oggetti entrambe le parti dell'equazione a 17, otteniamo:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Qui non puoi contare il discriminante, ma indovina immediatamente la prima radice: X_ {1} = 1. E la seconda radice X_ {2} = - 3Facile si trova sul teorema di Vieta.

3) Lavorare con i coefficienti frazionati è scomodo. Ad esempio, equazione 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

Hai già indovinato cosa fare. Moltiplicare entrambe le parti dell'equazione per 100! Noi abbiamo:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Le radici di questa equazione sono uguali a 1 e -6.

Vedi anche: funzione quadratica

Новости

Добавить комментарий