Négyzetes egyenletek - A matematika vizsga előkészítése

Négyzetes egyenlet - Az egyenlet megtekintése Ax ^ {2} + bx + c = 0hol A \ NEQ 0.

Számok A, B, Ca négyzetes egyenlet együtthatóként említik.

A négyzetes egyenletnek két érvényes gyökere lehet, egy érvényes gyökér vagy nincs.

A négyzetes egyenlet gyökerei száma a kifejezés jelétől függ, amelyet diszkriminánsnak neveznek.

Diszkrimináns négyzetes egyenlet: D = b ^ {2} -4AC.

Ha egy D.> 0, a négyzetes egyenletnek két gyökere van: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2A}.

Ha egy D.= 0, a négyzetes egyenletnek az egyetlen gyökere van X = - frac {b} {2a}.

Ha egy D.<0, a négyzetes egyenletnek nincs érvényes gyökere.

Több négyzetes egyenleteket írunk, és ellenőrizzük, hogy hány gyökeret kellene.

egy) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

Ebben az egyenletben A = 3., B = -4., C = -9..

Diszkrimináns egyenletek egyenletek bal (-4 \ jobbra) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT \ maradt (-9 \ jobbra) = 16 + 108> 0. Az egyenletnek két gyökere van.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

Ebben az egyenletben A = 1, \; b = 4, \; c = 4.

Diszkrimináns egyenletek egyenletek 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0. Az egyenletnek az egyetlen gyökere van.

Ne feledje, hogy az egyenlet bal oldalán x ^ {2} + 4x + 4 = 0Van egy kifejezés, amelyet teljes négyzetnek neveznek. Valóban, x ^ {2} + 4x + 4 = bal (x + 2 \ jobbra) ^ {2}. A rövidített szorzás képletét alkalmaztuk.

Az egyenlet bal (x + 2 \ jobbra) ^ {2} = 0Az egyetlen gyökér van x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

Ebben az egyenletben A = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Diszkrimináns egyenletek egyenletek Bal (-4 \ jobb) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. Nincs gyökér.

4) Az egyenlet megoldása 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Diszkrimináns egyenletek egyenletek Balra (-3 \ jobbra) ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ maradt (-20 \ jobbra) = 9 + 160 = 169> 0.

Az egyenletnek két gyökere van.

Gyökéregyenletek

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2,5

Vieta tétel

Hasznos tétel a négyzetes egyenletek megoldására - Vieta tétel.

Ha egy x_ {1} и x_ {2}- Az egyenlet gyökerei Ax ^ {2} + bx + c = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {A}.

Például az egyenletünkben 2x ^ {2} -3x-20 = 0A gyökerek mennyisége egyenlő 4-2,5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}, és a gyökerek terméke egyenlő 4 \ CDOT \ maradt (-2,5 \ jobbra) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

A négyzetes egyenlet többféle módon megoldható. Lehetőség van a diszkrimináns kiszámítására, vagy a vieta-tétel használatára, és néha egyszerűen csak kitalálhatod az egyik gyökeret. Vagy mindkettő.

Nem teljes négyzetes egyenletek

Négyzetes egyenlet, amelyben a B vagy C (vagy mindkettő) együtthatók nulla, úgynevezett hiányos. Ilyen esetekben nem szükséges megkülönböztetést kérni. Könnyebb megoldani.

1) Fontolja meg az egyenletet 2x ^ {2} = 0.

Ebben az egyenletben B = 0. и C = 0.. Nyilvánvalóan x = 0.- Az egyenlet egyetlen gyökere.

2) Fontolja meg az egyenletet x ^ {2} -4 = 0. Itt B = 0.és más együtthatók nulla nem egyenlőek.

A legegyszerűbb módja annak, hogy lebomlik a gyári egyenletek bal oldali részének a négyzetkülönbség képletével. Kapunk:

Balra (x-2) balra (x + 2 \ jobbra) = 0

A két szorzó terméke nulla, ha és csak akkor, ha legalább együk nulla.

Azt jelenti X = 2.vagy x = -2..

3) Itt van egy hasonló egyenlet: x ^ {2} -5 = 0.

Amennyiben 5 = balra (\ sqrt {5} \ jobbra) ^ {2}Az egyenlet formájában írható:

balra (x- \ sqrt {5} \ jobbra) \ lib (x + \ sqrt {5} \ jobbra) = 0

Innen X = sqrt {5}vagy X = - SQRT {5}.

4) Legyen most B.nem nulla és C = 0..

Fontolja meg az egyenletet 3x ^ {2} + 5x = 0.

A bal részét a szorzókra bomlik, bevezetve X.zárójelben. Kapunk:

X \ maradt (3x + 5 \ jobb) = 0.

A két szorzó terméke nulla, ha és csak akkor, ha legalább együk nulla.

Azt jelenti x = 0.vagy X = - \ frac {5} {3} .

Egy négyzet alakú három melán bomlása

Ax ^ {2} + bx + c = a \ lent (x - x_ {1} \ jobbra) \ Bal (x-x_ {2} \ Right).

Itt x_ {1} и x_ {2}- a négyzetes egyenlet gyökerei Ax ^ {2} + bx + c = 0.

Emlékezzen erre a képletre. A kvadratikus és frakcionált racionális egyenlőtlenségek megoldásához szükséges.

Például az egyenletünk 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Gyökerei X_ {1} = 4,X_ {2} = - 2,5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ lib (x-4 \ jobb) \ Bal (x + 2.5 \ Jobb).

Hasznos LifeHaki a négyzetes egyenletek megoldásához.

1) Sokkal könnyebb megoldani egy négyzetes egyenletet, ha az A, XX-vel szorozva pozitív. Úgy tűnik, hogy ez egy kicsit, ugye? De hány hiba merül fel a vizsga miatt, mivel a középiskolás diák figyelmen kívül hagyja ezt a "kicsit".

Például egyenlet -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Sokkal könnyebb az 1-re szorozni, hogy az A együttható pozitívvá váljon. Kapunk: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Az egyenlet megkülönböztetője egyenlő 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Gyökéregyenletek X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0,4.

2) A négyzetes egyenlet eldöntése előtt óvatosan nézd meg. Lehet, hogy egyes részek mindkét részét néhány nem egyenlő nulla számra vághatja?

Itt például az egyenlet 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Azonnal megkülönböztetést és gyökereket lehet számolni. És meg lehet jegyezni, hogy az összes együtthatók A, B. и C.Ők 17-re vannak osztva. Objektumok mindkét részét a 17-es egyenlet, kapunk:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Itt nem számolhatja meg a diszkriminánsot, de azonnal kitalálja az első gyökeret: X_ {1} = 1. És a második gyökér X_ {2} = - 3Az egyszerű a vieta tételén található.

3) A frakcionált együtthatókkal való együttműködés kényelmetlen. Például egyenlet 0,01x ^ {2} + 0,05x-0.06 = 0.

Már kitaláltad, mit kell tennie. Szorozzuk meg mindkét részét az egyenlet 100-mal! Kapunk:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Az egyenlet gyökerei 1 és -6.

Lásd még: Quadratic funkció

Новости

Добавить комментарий