वर्ग समीकरण - गणित में परीक्षा के लिए तैयारी

11.03.2021

स्क्वायर समीकरण - समीकरण देखें $कुल्हाड़ी ^ {2} + bx + c = 0$ कहां है $एक \ NEQ 0।$

नंबर $ए, बी, सी$ वर्ग समीकरण के गुणांक के रूप में जाना जाता है।

वर्ग समीकरण में दो वैध जड़ें हो सकती हैं, एक वैध रूट या कोई नहीं।

वर्ग समीकरण की जड़ों की संख्या अभिव्यक्ति के संकेत पर निर्भर करती है, जिसे भेदभावपूर्ण कहा जाता है।

भेदभावपूर्ण वर्ग समीकरण: $डी = बी ^ {2} -4AC$ .

यदि एक $डी$ > 0, वर्ग समीकरण में दो जड़ें हैं: $X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a}$ и $X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}$ .

यदि एक $डी$ = 0, वर्ग समीकरण में एकमात्र जड़ है $X = - \ frac {b} {2a}$ .

यदि एक $डी$ <0, वर्ग समीकरण में कोई मान्य जड़ें नहीं हैं।

हम कई वर्ग समीकरण लिखते हैं और जांचते हैं कि उनके पास कितनी जड़ें हैं।

एक) $3x ^ {2} -4x-9 = 0$

इस समीकरण में $ए = 3।$ , $B = -4।$ , $सी = -9।$ .

भेदभाव समीकरण समीकरण $\ Left (-4 \ दाएं) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ Left (-9 \ दाएं) = 16 + 108$ > 0. समीकरण में दो जड़ें हैं।

2) $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$

इस समीकरण में $A = 1, \; b = 4, \; c = 4$ .

भेदभाव समीकरण समीकरण $4 ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 4 = 0$ । समीकरण में एकमात्र जड़ है।

ध्यान दें कि समीकरण के बाएं हिस्से में $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$ एक अभिव्यक्ति है जिसे पूर्ण वर्ग कहा जाता है। वास्तव में, $x ^ {2} + 4x + 4 = \ बाएं (x + 2 \ दाएँ) ^ {2}$ । हमने संक्षिप्त गुणा के सूत्र को लागू किया।

समीकरण $\ Left (x + 2 \ दाएं) ^ {2} = 0$ यह एकमात्र जड़ है $x = -2।$ .

3) $3x ^ {2} -4x + 9 = 0$ .

इस समीकरण में $ए = 3, \; b = -4, \; c = 9$ .

भेदभाव समीकरण समीकरण $\ Left (-4 \ दाएं) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 9 = 16-108$ <0। कोई जड़ नहीं।

4) समीकरण को हल करना $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

भेदभाव समीकरण समीकरण $\ Left (-3 \ दाएं) ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ Left (-20 \ दाएं) = 9 + 160 = 169$ > 0।

समीकरण में दो जड़ें हैं।

रूट समीकरण

$X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4$

$X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5$

विएटा प्रमेय

स्क्वायर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी प्रमेय - वियतनाम प्रमेय।

यदि एक $x_ {1}$ и $x_ {2}$ - समीकरण की जड़ें $कुल्हाड़ी ^ {2} + bx + c = 0$ टी $x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}$ , $x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}$ .

उदाहरण के लिए, हमारे समीकरण में $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ जड़ों की मात्रा बराबर है $4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}$ , और जड़ों का उत्पाद बराबर है $4 \ cdot \ बाएं (-2.5 \ दाएं) = - 10 = \ frac {-20} {2}$ .

स्क्वायर समीकरण कई तरीकों से हल किया जा सकता है। भेदभाव की गणना करना या वियतनाम प्रमेय का उपयोग करना संभव है, और कभी-कभी आप केवल एक जड़ों का अनुमान लगा सकते हैं। या दोनों जड़ें।

अपूर्ण वर्ग समीकरण

एक वर्ग समीकरण जिसमें गुणांक बी या सी (या दोनों) में से एक शून्य है, जिसे अपूर्ण कहा जाता है। ऐसे मामलों में, भेदभाव की तलाश करना आवश्यक नहीं है। हल करना आसान है।

1) समीकरण पर विचार करें $2x ^ {2} = 0$ .

इस समीकरण में $B = 0।$ и $C = 0।$ । जाहिर है $x = 0।$ - समीकरण की एकमात्र जड़।

2) समीकरण पर विचार करें $x ^ {2} -4 = 0$ । यहाँ $B = 0।$ और अन्य गुणांक शून्य बराबर नहीं हैं।

स्क्वायर अंतर के सूत्र द्वारा कारखाने समीकरणों के बाएं हिस्से को विघटित करने का सबसे आसान तरीका है। हमें मिला:

$\ Left (x-2 \ दाएँ) \ Left (X + 2 \ दाएं) = 0$

दो गुणक का उत्पाद शून्य है यदि और केवल अगर उनमें से कम से कम शून्य शून्य है।

का मतलब है $x = 2।$ या $x = -2।$ .

3) यहां एक समान समीकरण है: $x ^ {2} -5 = 0$ .

जहां तक कि $5 = \ left (\ sqrt {5} \ अधिकार) ^ {2}$ समीकरण फॉर्म में लिखा जा सकता है:

$\ Left (X- \ Sqrt {5} \ राइट) \ Left (X + \ SQRT {5} \ राइट) = 0$

यहाँ से $X = \ sqrt {5}$ या $X = - \ sqrt {5}$ .

4) अब चलो $बी$ शून्य नहीं और $C = 0।$ .

समीकरण पर विचार करें $3x ^ {2} + 5x = 0$ .

इसके बाएं हिस्से को गुणक पर विघटित किया जा सकता है, परिचय $एक्स।$ कोष्ठक के लिए। हमें मिला:

$X \ Left (3x + 5 \ दाएं) = 0$ .

दो गुणक का उत्पाद शून्य है यदि और केवल अगर उनमें से कम से कम शून्य शून्य है।

का मतलब है $x = 0।$ या $X = - \ frac {5} {3}$ .

एक वर्ग तीन-मेलेन का अपघटन

$कुल्हाड़ी ^ {2} + bx + c = a \ bept (x - x_ {1} \ राइट) \ Left (x-x_ {2} \ राइट)$ .

यहाँ $x_ {1}$ и $x_ {2}$ - वर्ग समीकरण की जड़ें $कुल्हाड़ी ^ {2} + bx + c = 0$ .

इस सूत्र को याद रखें। द्विघात और आंशिक तर्कसंगत असमानताओं को हल करने के लिए यह आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, हमारे समीकरण $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

उसकी जड़ों $X_ {1} = 4$ , $X_ {2} = - 2.5$ .

$2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ बाएं (x-4 \ दाएं) \ Left (X + 2.5 \ दाएँ)$ .

स्क्वायर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी जीवनहाक्ति।

1) एक वर्ग समीकरण को हल करना बहुत आसान है यदि गुणांक ए, जिसे xx द्वारा गुणा किया जाता है, सकारात्मक है। ऐसा लगता है कि यह एक trifle है, है ना? लेकिन इस तथ्य के कारण परीक्षा में कितनी गलतियां उत्पन्न होती हैं कि हाई स्कूल के छात्र इस "ट्राइफल" को अनदेखा करते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण $-5x ^ {2} + 11x-2 = 0$ .

इसे 1 तक गुणा करना बहुत आसान है ताकि गुणांक सकारात्मक हो जाए। हमें मिला: $15x ^ {2} -11x + 2 = 0$ .

इस समीकरण का भेदभाव बराबर है $11 ^ {2} -4 \ cdot 15 \ cdot 2 = 121-120 = 1$ .

रूट समीकरण $X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4$ .

2) स्क्वायर समीकरण का निर्णय लेने से पहले, इसे ध्यान से देखें। शायद आप कुछ हिस्सों के दोनों हिस्सों को कुछ बराबर शून्य संख्या में काट सकते हैं?

यहां, उदाहरण के लिए, समीकरण $17x ^ {2} + 34x-51 = 0$ .

आप तुरंत भेदभावपूर्ण और जड़ों की गणना कर सकते हैं। और यह ध्यान दिया जा सकता है कि सभी गुणांक $ए, बी।$ и $सी।$ उन्हें 17 में विभाजित किया गया है। समीकरण के दोनों हिस्सों को 17 में शामिल करता है, हमें मिलता है:

$x ^ {2} + 2x-3 = 0$ .

यहां आप भेदभाव की गणना नहीं कर सकते हैं, लेकिन तुरंत पहले रूट का अनुमान लगा सकते हैं: $X_ {1} = 1$ । और दूसरी जड़ $X_ {2} = - 3$ आसान वियतनाम प्रमेय पर स्थित है।