Equations carrées - Préparation de l'examen en mathématiques

Équation carrée - Équation de vue AX ^ {2} + BX + C = 0A \ neq 0.

Nombres A, b, cappelé coefficients de l'équation carrée.

L'équation carrée peut avoir deux racines valides, une racine valide ou aucune racine valide.

Le nombre de racines de l'équation carrée dépend du signe de l'expression, qui est appelé discriminant.

Équation carrée discriminante: D = b ^ {2} -4ac.

Si un RÉ.> 0, l'équation carrée a deux racines: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

Si un RÉ.= 0, l'équation carrée a la seule racine X = - \ frac {b} {2a}.

Si un RÉ.<0, l'équation carrée n'a aucune racine valide.

Nous écrivons plusieurs équations carrées et vérifions combien de racines ils ont.

une) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

Dans cette équation A = 3., B = -4., C = -9..

Équations d'équations discriminantes \ gauche (-4 \ droite) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT \ Gauche (-9 \ Right) = 16 + 108> 0. L'équation a deux racines.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

Dans cette équation a = 1, \; b = 4, \; c = 4.

Équations d'équations discriminantes 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0. L'équation a la seule racine.

Notez que dans la partie gauche de l'équation x ^ {2} + 4x + 4 = 0Il y a une expression qui s'appelle une place complète. En effet, x ^ {2} + 4x + 4 = \ gauche (x + 2 \ droite) ^ {2}. Nous avons appliqué la formule de multiplication abrégée.

L'équation \ Gauche (x + 2 \ droite) ^ {2} = 0Il a la seule racine x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

Dans cette équation a = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Équations d'équations discriminantes \ Gauche (-4 \ droite) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. Pas de racines.

4) résoudre l'équation 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Équations d'équations discriminantes \ Gauche (-3 \ droite) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ Gauche (-20 \ Right) = 9 + 160 = 169> 0.

L'équation a deux racines.

Équations racines

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Théorème de Vieta

Théorème utile pour la résolution d'équations carrées - Théorème Vieta.

Si un x_ {1} и X_ {2}- racines de l'équation AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

Par exemple, dans notre équation 2x ^ {2} -3x-20 = 0La quantité de racines est égale 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}et le produit des racines est égal 4 \ CDOT \ Gauche (-2.5 \ droite) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

L'équation carrée peut être résolue de plusieurs manières. Il est possible de calculer le discriminant ou d'utiliser le théorème Vieta, et parfois, vous pouvez simplement deviner l'une des racines. Ou les deux racines.

Équations carrées incomplètes

Une équation carrée dans laquelle l'un des coefficients B ou C (ou les deux) est zéro, appelé incomplet. Dans de tels cas, il n'est pas nécessaire de demander discriminant. Il est plus facile de résoudre.

1) Considérons l'équation 2x ^ {2} = 0.

Dans cette équation B = 0. и C = 0.. De toute évidence x = 0.- la seule racine de l'équation.

2) Considérons l'équation x ^ {2} -4 = 0. Ici B = 0.et d'autres coefficients zéro ne sont pas égaux.

Le moyen le plus simple de décomposer la partie gauche des équations d'usine par la formule de la différence carrée est. On a:

\ Gauche (x-2 \ droite) \ gauche (x + 2 \ droite) = 0

Le produit de deux multiplicateurs est zéro si et seulement si au moins l'un d'entre eux est zéro.

Ça veut dire x = 2.ou x = -2..

3) Voici une équation similaire: x ^ {2} -5 = 0.

Dans la mesure où 5 = \ Gauche (\ sqrt {5} \ droite) ^ {2}L'équation peut être écrite sous la forme:

\ Gauche (x- \ sqrt {5} \ droite) \ Gauche (x + \ sqrt {5} \ droite) = 0

D'ici X = \ sqrt {5}ou X = - \ sqrt {5}.

4) laisser maintenant B.pas zéro et C = 0..

Considérer l'équation 3x ^ {2} + 5x = 0.

Sa partie gauche peut être décomposée sur des multiplicateurs, introduisant X.pour les crochets. On a:

X \ gauche (3x + 5 \ à droite) = 0.

Le produit de deux multiplicateurs est zéro si et seulement si au moins l'un d'entre eux est zéro.

Ça veut dire x = 0.ou X = - \ frac {5} {3} .

Décomposition d'un carré trois-mélan

AX ^ {2} + BX + C = A \ Gauche (x - x_ {1} \ droite) \ gauche (x-x_ {2} \ droite).

Ici x_ {1} и X_ {2}- racines de l'équation carrée AX ^ {2} + BX + C = 0.

N'oubliez pas de cette formule. Il est nécessaire de résoudre les inégalités rationnelles quadratiques et fractionnaires.

Par exemple, notre équation 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Ses racines x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ gauche (x-4 \ droite) \ gauche (x + 2.5 \ droite).

Lifehaki utile pour résoudre des équations carrées.

1) Il est beaucoup plus facile de résoudre une équation carrée si le coefficient A, qui est multiplié par XX, est positif. Il semble que c'est une bagatelle, non? Mais combien d'erreurs lors de l'examen découlent du fait que l'élève du secondaire ignore cette "bagatelle".

Par exemple, équation -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Il est beaucoup plus facile de la multiplier pour 1 afin que le coefficient A devienne positif. On a: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Discriminant de cette équation est égal 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Équations racines X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4.

2) Avant de décider de l'équation carrée, regardez-la soigneusement. Peut-être que vous pouvez couper les deux parties de certaines parties à un numéro de zéro non égal?

Ici, par exemple, l'équation 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Vous pouvez immédiatement compter discriminant et racines. Et on peut noter que tous les coefficients UN B. и C.Ils sont divisés en 17. Objets des deux parties de l'équation à 17, nous obtenons:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Ici, vous ne pouvez pas compter le discriminant, mais devinez immédiatement la première racine: X_ {1} = 1. Et la deuxième racine X_ {2} = - 3Easy est situé sur le théorème de Vieta.

3) Travailler avec des coefficients fractionnaires est inconfortable. Par exemple, équation 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

Vous avez déjà deviné quoi faire. Multipliez les deux parties de l'équation par 100! On a:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Les racines de cette équation sont égales à 1 et -6.

Voir aussi: Fonction quadratique

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