معادلات مربع - آماده سازی برای امتحان در ریاضیات

معادله مربع - نمایش معادله تبر ^ {2} + bx + c = 0جایی که a \ neq 0.

شماره a، b، cبه عنوان ضرایب معادله مربع اشاره شده است.

معادله مربع ممکن است دو ریشه معتبر داشته باشد، یک ریشه معتبر یا هیچ کدام.

تعداد ریشه های معادله مربع بستگی به نشانه بیان است که به نام Discriminant نامیده می شود.

معادله مربع معادله: d = b ^ {2} -4ac.

اگر یک D.> 0، معادله مربع دارای دو ریشه است: x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

اگر یک D.= 0، معادله مربع تنها ریشه دارد x = - \ frac {b} {2a}.

اگر یک D.<0، معادله مربع هیچ ریشه معتبر ندارد.

ما چندین معادله مربع را می نویسیم و چند ریشه آنها را بررسی می کنیم.

یکی) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

در این معادله a = 3, b = -4., c = -9..

معادلات معادلات معادلات \ left (-4 \ right) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ left (-9 \ right) = 16 + 108> 0. معادله دارای دو ریشه است.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

در این معادله a = 1، \؛ b = 4، \؛ c = 4.

معادلات معادلات معادلات 4 ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 4 = 0. معادله تنها ریشه دارد.

توجه داشته باشید که در قسمت چپ معادله x ^ {2} + 4x + 4 = 0یک عبارت وجود دارد که مربع کامل نامیده می شود. در واقع، x ^ {2} + 4x + 4 = \ left (x + 2 \ right) ^ {2}. ما فرمول ضریب ضمیمه را اعمال کردیم.

معادله \ left (x + 2 \ right) ^ {2} = 0این تنها ریشه دارد x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

در این معادله a = 3، \؛ b = -4، \؛ c = 9.

معادلات معادلات معادلات \ left (-4 \ right) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 9 = 16-108<0 هیچ ریشه ای وجود ندارد

4) حل معادله 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

معادلات معادلات معادلات \ left (-3 \ right) ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ left (-20 \ right) = 9 + 160 = 169> 0

معادله دارای دو ریشه است.

معادلات ریشه

x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

قضیه Vieta

قضیه مفید برای حل معادلات مربع - قضیه Vieta.

اگر یک x_ {1} и x_ {2}- ریشه های معادله تبر ^ {2} + bx + c = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

به عنوان مثال، در معادله ما 2x ^ {2} -3x-20 = 0مقدار ریشه ها برابر است 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}، و محصول ریشه برابر است 4 \ cdot \ left (-2.5 \ right) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

معادله مربع را می توان به روش های مختلف حل کرد. ممکن است محاسبه تبعیض آمیز یا استفاده از قضیه Vieta، و گاهی اوقات شما می توانید به سادگی یکی از ریشه ها را حدس بزنید. یا هر دو ریشه.

معادلات مربع ناقص

معادله مربع که در آن یکی از ضرایب B یا C (یا هر دو آنها) صفر است، به نام ناقص است. در چنین مواردی لازم نیست به دنبال تبعیض آمیز باشید. آسان تر برای حل آن آسان تر است.

1) معادله را در نظر بگیرید 2x ^ {2} = 0.

در این معادله b = 0. и c = 0. به طور مشخص x = 0- تنها ریشه معادله.

2) معادله را در نظر بگیرید x ^ {2} -4 = 0. اینجا b = 0.و ضرایب دیگر صفر برابر نیستند.

ساده ترین راه برای تجزیه بخش چپ معادلات کارخانه توسط فرمول تفاوت مربع است. ما گرفتیم:

\ left (x-2 \ right) \ سمت چپ (x + 2 \ \ right) = 0

محصول دو ضرب کننده صفر است و تنها اگر حداقل یکی از آنها صفر باشد.

به این معنی x = 2یا x = -2..

3) در اینجا یک معادله مشابه است: x ^ {2} -5 = 0.

تا آنجا که 5 = \ left (\ sqrt {5} \ right) ^ {2}معادله را می توان در فرم نوشته شده است:

\ left (x- \ sqrt {5} \ right) \ left (x + \ sqrt {5} \ right) = 0

از اینجا x = \ sqrt {5}یا x = - \ sqrt {5}.

4) اکنون بگذارید بنه صفر و c = 0.

معادله را در نظر بگیرید 3x ^ {2} + 5x = 0.

بخش چپ آن را می توان بر روی ضربات، معرفی کرد ایکس.برای براکت ها ما گرفتیم:

x \ left (3x + 5 \ right) = 0.

محصول دو ضرب کننده صفر است و تنها اگر حداقل یکی از آنها صفر باشد.

به این معنی x = 0یا x = - \ frac {5} {3} .

تجزیه یک مربع سه ملان

AX ^ {2} + BX + C = A \ left (x - x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right).

اینجا x_ {1} и x_ {2}- ریشه های معادله مربع تبر ^ {2} + bx + c = 0.

به یاد داشته باشید این فرمول برای حل نابرابری های منطقی درجه دوم و کسری ضروری است.

به عنوان مثال، معادله ما 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

ریشه های او x_ {1} = 4,x_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ left (x-4 \ right) \ سمت چپ (x + 2.5 \ right).

Lifehaki مفید برای حل معادلات مربع.

1) اگر ضریب a، که توسط xx ضرب شود، بسیار ساده تر است. به نظر می رسد که این یک چیز است، درست است؟ اما چند اشتباه در امتحان ناشی از این واقعیت است که دانش آموز دبیرستان این "بی رحم" را نادیده می گیرد.

به عنوان مثال، معادله -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

آن را بسیار آسان تر برای ضرب آن به 1 به طوری که ضریب A مثبت می شود. ما گرفتیم: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

تبعیض آمیز این معادله برابر است 11 ^ {2} -4 \ cdot 15 \ cdot 2 = 121-120 = 1.

معادلات ریشه x_ {1} = \ frac {1} {3}، \؛ x_ {2} = 0.4.

2) قبل از تصمیم گیری معادله مربع، به دقت نگاه کنید. شاید شما می توانید هر دو بخش از برخی از قطعات را به برخی از صفر صفر تقسیم کنید؟

در اینجا، به عنوان مثال، معادله 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

شما می توانید بلافاصله تبعیض آمیز و ریشه ها را شمارش کنید. و می توان اشاره کرد که تمام ضرایب a، ب и C.آنها به 17 تقسیم می شوند. اشیاء هر دو بخش معادله به 17، ما دریافت می کنیم:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

در اینجا شما نمیتوانید تبعیض را حساب کنید، اما بلافاصله اولین ریشه را حدس بزنید: x_ {1} = 1. و ریشه دوم x_ {2} = - 3آسان در قضیه Vieta واقع شده است.

3) کار با ضرایب کسری، ناراحت کننده است. به عنوان مثال، معادله 0.01x ^ {2} + 0.05X-0.06 = 0.

شما قبلا حدس زده اید چه کاری باید انجام دهید. هر دو بخش از معادله را در هر 100 ضرب کنید! ما گرفتیم:

x ^ {2} + 5x-6 = 0.

ریشه های این معادله برابر با 1 و 6 است.

همچنین ببینید: عملکرد درجه دوم

Новости

Добавить комментарий