Ecuaciones cuadradas - Preparación para el examen en matemáticas.

Ecuación cuadrada - Ver ecuación Hacha ^ {2} + bx + c = 0dónde A \ NEQ 0.

Números A B Creferido a los coeficientes de la ecuación cuadrada.

La ecuación cuadrada puede tener dos raíces válidas, una raíz válida o ninguna.

El número de raíces de la ecuación cuadrada depende del signo de la expresión, que se llama discriminante.

Ecuación cuadrada discriminante: D = b ^ {2} -4ac.

Si un D.> 0, la ecuación cuadrada tiene dos raíces: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2A}.

Si un D.= 0, la ecuación cuadrada tiene la única raíz X = - \ frac {b} {2a}.

Si un D.<0, la ecuación cuadrada no tiene raíces válidas.

Escribimos varias ecuaciones cuadradas y revisamos cuántas raíces tienen.

una) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

En esta ecuación a = 3., B = -4., C = -9..

Ecuaciones de las ecuaciones discriminatorias \ izquierda (-4 \ derecha) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT \ Izquierda (-9 \ derecha) = 16 + 108> 0. La ecuación tiene dos raíces.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

En esta ecuación a = 1, \; B = 4, \; C = 4.

Ecuaciones de las ecuaciones discriminatorias 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0. La ecuación tiene la única raíz.

Tenga en cuenta que en la parte izquierda de la ecuación x ^ {2} + 4x + 4 = 0Hay una expresión que se llama un cuadrado completo. Por supuesto, x ^ {2} + 4x + 4 = \ \ a la izquierda (x + 2 \ derecha) ^ {2}. Aplicamos la fórmula de la multiplicación abreviada.

La ecuacion \ izquierda (x + 2 \ derecha) ^ {2} = 0Tiene la única raíz x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

En esta ecuación A = 3, \; B = -4, \; C = 9.

Ecuaciones de las ecuaciones discriminatorias \ Izquierda (-4 \ derecha) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. No hay raíces.

4) Solución de la ecuación 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Ecuaciones de las ecuaciones discriminatorias \ Izquierda (-3 \ derecha) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ izquierda (-20 \ derecha) = 9 + 160 = 169> 0.

La ecuación tiene dos raíces.

Ecuaciones de la raíz

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Vietá teorema

Teorema útil para resolver ecuaciones cuadradas - Vietá teorema.

Si un x_ {1} и X_ {2}- Raíces de la ecuación. Hacha ^ {2} + bx + c = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

Por ejemplo, en nuestra ecuación. 2x ^ {2} -3x-20 = 0La cantidad de raíces es igual. 4-2.5 = 1.5 = - \ FRAC {-3} {2}, y el producto de las raíces es igual. 4 \ CDOT \ Izquierda (-2.5 \ derecha) = - 10 = \ FRAC {-20} {2}.

La ecuación cuadrada se puede resolver de varias maneras. Es posible calcular el discriminante, o usar el teorema de Vieta, y, a veces, simplemente puede adivinar una de las raíces. O ambas raíces.

Ecuaciones cuadradas incompletas

Una ecuación cuadrada en la que uno de los coeficientes B o C (o ambos) es cero, llamado incompleto. En tales casos, no es necesario buscar discriminante. Es más fácil resolver.

1) Considerar la ecuación 2x ^ {2} = 0.

En esta ecuación B = 0. и C = 0.. Obviamente x = 0.- La única raíz de la ecuación.

2) Considerar la ecuación. x ^ {2} -4 = 0. Aquí B = 0.y otros coeficientes cero no son iguales.

La forma más fácil de descomponer la parte izquierda de las ecuaciones de fábrica por la fórmula de la diferencia cuadrada es. Obtenemos:

\ Izquierda (x-2 \ derecha) \ izquierda (x + 2 \ derecha) = 0

El producto de dos multiplicadores es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero.

Significa x = 2.o x = -2..

3) Aquí hay una ecuación similar: x ^ {2} -5 = 0.

En la medida en 5 = \ izquierda (\ sqrt {5} \ derecha) ^ {2}La ecuación se puede escribir en la forma:

\ izquierda (x- \ sqrt {5} \ derecha) \ izquierda (x + \ sqrt {5} \ derecha) = 0

De aquí X = \ sqrt {5}o X = - \ sqrt {5}.

4) Deja que ahora B.no cero y C = 0..

Considerar la ecuación 3x ^ {2} + 5x = 0.

Su parte izquierda se puede descomponer en multiplicadores, introduciendo X.para paréntesis. Obtenemos:

X \ izquierda (3x + 5 \ derecha) = 0.

El producto de dos multiplicadores es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero.

Significa x = 0.o X = - \ frac {5} {3} .

Descomposición de un cuadrado de tres melan.

Hacha ^ {2} + bx + c = A \ izquierda (x - x_ {1} \ derecha) \ izquierda (x-x_ {2} \ derecha).

Aquí x_ {1} и X_ {2}- Raíces de la ecuación cuadrada. Hacha ^ {2} + bx + c = 0.

Recuerda esta fórmula. Es necesario para resolver desigualdades racionales cuadráticas y fraccionantes.

Por ejemplo, nuestra ecuación. 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Sus raíces x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ izquierda (x-4 \ derecha) \ izquierda (x + 2.5 \ derecha).

Lifaki útil para resolver ecuaciones cuadradas.

1) Es mucho más fácil resolver una ecuación cuadrada si el coeficiente A, que se multiplica por XX, es positivo. Parece que esto es un poco, ¿verdad? Pero cuántos errores en el examen surge debido al hecho de que el estudiante de la escuela secundaria ignora este "poco".

Por ejemplo, la ecuación -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Es mucho más fácil multiplicarlo a 1 para que el coeficiente se vuelva positivo. Obtenemos: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

El discriminante de esta ecuación es igual. 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Ecuaciones de la raíz X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4.

2) Antes de decidir la ecuación cuadrada, míralo detenidamente. ¿Tal vez usted puede cortar ambas partes de algunas partes en un número cero no igual?

Aquí, por ejemplo, la ecuación. 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Puede contar inmediatamente discriminantes y raíces. Y se puede observar que todos los coeficientes. A, b. и C.Se dividen en 17. Objetos ambas partes de la ecuación a 17, obtenemos:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Aquí no puede contar el discriminante, pero de inmediato adivine la primera raíz: X_ {1} = 1. Y la segunda raíz X_ {2} = - 3Fácil se encuentra en el teorema de Vieta.

3) Trabajar con coeficientes fraccionados es incómodo. Por ejemplo, la ecuación 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

Ya has adivinado qué hacer. ¡Multiplica ambas partes de la ecuación por cada 100! Obtenemos:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Las raíces de esta ecuación son iguales a 1 y -6.

Ver también: Función cuadrática.

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