Τετραγωνικές εξισώσεις - Προετοιμασία για την εξέταση στα μαθηματικά

Τετράγωνη εξίσωση - Προβολή εξίσωσης AX ^ {2} + BX + C = 0όπου A \ neq 0.

Αριθμοί Α, Β, Γπου αναφέρονται ως οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης.

Η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να έχει δύο έγκυρες ρίζες, μία έγκυρη ρίζα ή καμία.

Ο αριθμός των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης εξαρτάται από το σημάδι της έκφρασης, η οποία ονομάζεται διακριτική.

Διακριτική πλατεία εξίσησης: D = b ^ {2} -4ac.

Αν ένα ΡΕ.> 0, η πλατεία εξίσωση έχει δύο ρίζες: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

Αν ένα ΡΕ.= 0, η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μόνη ρίζα X = - \ frac {b} {2a}.

Αν ένα ΡΕ.<0, η πλατεία εξίσωση δεν έχει έγκυρες ρίζες.

Γράφουμε αρκετές τετραγωνικές εξισώσεις και ελέγξτε πόσες ρίζες έχουν.

ένας) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

Σε αυτή την εξίσωση Α = 3., B = -4., C = -9..

Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων \ αριστερά (-4 \ δεξιά) {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ αριστερά (-9 \ δεξιά) = 16 + 108> 0. Η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

Σε αυτή την εξίσωση a = 1, \; b = 4, \, c = 4.

Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0. Η εξίσωση έχει τη μόνη ρίζα.

Σημειώστε ότι στο αριστερό μέρος της εξίσωσης x ^ {2} + 4x + 4 = 0Υπάρχει μια έκφραση που ονομάζεται πλήρης πλατεία. Πράγματι, x ^ {2} + 4x + 4 = \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) ^ {2}. Εφαρμόσαμε τον τύπο συντομευμένου πολλαπλασιασμού.

Την εξίσωση \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) {2} = 0Έχει τη μόνη ρίζα x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

Σε αυτή την εξίσωση a = 3, \, b = -4, \, c = 9.

Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων \ Αριστερά (-4 \ δεξιά) {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. Δεν υπάρχουν ρίζες.

4) Επίλυση εξίσωσης 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων \ Αριστερά (-3 \ Δεξιά) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ Αριστερά (-20 \ Δεξιά) = 9 + 160 = 169> 0.

Η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Εξισώσεις ρίζας

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Θεώρημα Vieta

Χρήσιμο θεώρημα για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων - Θεώρημα Vieta.

Αν ένα x_ {1} и x_ {2}- ρίζες της εξίσωσης AX ^ {2} + BX + C = 0Τ. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

Για παράδειγμα, στην εξίσωση μας 2x ^ {2} -3x-20 = 0Το ποσό των ριζών είναι ίσο 4-2.5 = 1.5 = - \ FRAC {-3} {2}, και το προϊόν των ριζών είναι ίσο 4 \ cdot \ αριστερά (-2.5 \ δεξιά) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

Η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους. Είναι δυνατόν να υπολογίσετε τις διακριτικές διακρίσεις ή να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Vieta και μερικές φορές μπορείτε απλά να μαντέψετε μία από τις ρίζες. Ή και τα δύο ρίζα.

Ατελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία ένας από τους συντελεστές Β ή C (ή και οι δύο) είναι μηδέν, που ονομάζεται ελλιπής. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν είναι απαραίτητο να αναζητηθούν διακριτικές διακρίσεις. Είναι ευκολότερο να επιλυθεί.

1) Εξετάστε την εξίσωση 2x ^ {2} = 0.

Σε αυτή την εξίσωση B = 0. и C = 0.. Προφανώς x = 0.- τη μόνη ρίζα της εξίσωσης.

2) Εξετάστε την εξίσωση x ^ {2} -4 = 0. Εδώ B = 0.και άλλοι συντελεστές μηδέν δεν είναι ίσοι.

Ο ευκολότερος τρόπος για να αποσυντεθεί το αριστερό μέρος των εργοστασιακών εξισώσεων από τον τύπο της τετραγωνικής διαφοράς είναι. Παίρνουμε:

\ Αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) = 0

Το προϊόν δύο πολλαπλασιαστών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Σημαίνει x = 2.ή x = -2..

3) Εδώ είναι μια παρόμοια εξίσωση: x ^ {2} -5 = 0.

Στο μέτρο 5 = \ αριστερά (\ sqrt {5} \ δεξιά) ^ {2}Η εξίσωση μπορεί να γραφτεί με τη μορφή:

\ αριστερά (x- \ sqrt {5} \ δεξιά) \ αριστερά (x + \ sqrt {5} \ δεξιά) = 0

Από εδώ X = \ sqrt {5}ή X = - \ sqrt {5}.

4) Αφήστε τώρα ΣΙ.όχι μηδέν και C = 0..

Εξετάστε την εξίσωση 3x ^ {2} + 5x = 0.

Το αριστερό μέρος του μπορεί να αποσυντεθεί σε πολλαπλασιαστές, εισάγοντας Χ.για αγκύλες. Παίρνουμε:

X \ αριστερά (3x + 5 \ δεξιά) = 0.

Το προϊόν δύο πολλαπλασιαστών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Σημαίνει x = 0.ή X = - \ frac {5} {3} .

Αποσύνθεση τετραγωνικού τριών μελών

AX ^ {2} + bx + c = a \ αριστερά (x - x_ {1} \ δεξιά) \ αριστερά (x-x_ {2} \ δεξιά).

Εδώ x_ {1} и x_ {2}- ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης AX ^ {2} + BX + C = 0.

Θυμηθείτε αυτή τη φόρμουλα. Είναι απαραίτητο για την επίλυση τετραγωνικών και κλασματικών ορθολογικών ανισοτήτων.

Για παράδειγμα, η εξίσωση μας 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Τις ρίζες του X_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ αριστερά (x-4 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2.5 \ δεξιά).

Χρήσιμο Lifhaki για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

1) Είναι πολύ πιο εύκολο να επιλυθεί μια τετραγωνική εξίσωση εάν ο συντελεστής Α, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με το xx, είναι θετικός. Φαίνεται ότι αυτό είναι ένα μικροσκοπικό, σωστό; Αλλά πόσα λάθη στην εξέταση προκύπτουν λόγω του γεγονότος ότι ο φοιτητής του γυμνασίου αγνοεί αυτό το "trifle".

Για παράδειγμα, εξίσωση -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Είναι πολύ πιο εύκολο να το πολλαπλασιάσουμε στο 1 έτσι ώστε ο συντελεστής Α να γίνει θετικός. Παίρνουμε: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Οι διακρίσεις αυτής της εξίσωσης είναι ίσοι 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Εξισώσεις ρίζας X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0,4.

2) Πριν αποφασίσετε την τετραγωνική εξίσωση, κοιτάξτε το προσεκτικά. Ίσως μπορείτε να κόψετε και τα δύο μέρη κάποιων εξαρτημάτων σε κάποιον όχι ίσο αριθμό μηδέν;

Εδώ, για παράδειγμα, η εξίσωση 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Μπορείτε να μετρήσετε αμέσως τις διακρίσεις και τις ρίζες. Και μπορεί να σημειωθεί ότι όλοι οι συντελεστές Α, Β. и ΝΤΟ.Διαχωρίζονται σε 17. Αντικείμενα και τα δύο μέρη της εξίσωσης έως 17, παίρνουμε:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Εδώ δεν μπορείτε να μετρήσετε τις διακριτικές, αλλά αμέσως μαντέψτε την πρώτη ρίζα: X_ {1} = 1. Και τη δεύτερη ρίζα X_ {2} = - 3Το Easy βρίσκεται στο θεώρημα Vieta.

3) Η εργασία με κλασματικούς συντελεστές είναι άβολα. Για παράδειγμα, εξίσωση 0,01x ^ {2} + 0,05x-0,06 = 0.

Έχετε ήδη μαντέψει τι να κάνετε. Πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη της εξίσωσης κατά 100! Παίρνουμε:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι ίσες με 1 και -6.

Δείτε επίσης: τετραγωνική λειτουργία

Новости

Добавить комментарий