Τετραγωνικές εξισώσεις - Προετοιμασία για την εξέταση στα μαθηματικά
Τετράγωνη εξίσωση - Προβολή εξίσωσης όπου
Αριθμοί που αναφέρονται ως οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης.
Η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να έχει δύο έγκυρες ρίζες, μία έγκυρη ρίζα ή καμία.
Ο αριθμός των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης εξαρτάται από το σημάδι της έκφρασης, η οποία ονομάζεται διακριτική.
Διακριτική πλατεία εξίσησης: .
Αν ένα > 0, η πλατεία εξίσωση έχει δύο ρίζες:
и
.
Αν ένα = 0, η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μόνη ρίζα
.
Αν ένα <0, η πλατεία εξίσωση δεν έχει έγκυρες ρίζες.
Γράφουμε αρκετές τετραγωνικές εξισώσεις και ελέγξτε πόσες ρίζες έχουν.
ένας)
Σε αυτή την εξίσωση ,
,
.
Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων > 0. Η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
2)
Σε αυτή την εξίσωση .
Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων . Η εξίσωση έχει τη μόνη ρίζα.
Σημειώστε ότι στο αριστερό μέρος της εξίσωσης Υπάρχει μια έκφραση που ονομάζεται πλήρης πλατεία. Πράγματι,
. Εφαρμόσαμε τον τύπο συντομευμένου πολλαπλασιασμού.
Την εξίσωση Έχει τη μόνη ρίζα
.
3) .
Σε αυτή την εξίσωση .
Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων <0. Δεν υπάρχουν ρίζες.
4) Επίλυση εξίσωσης .
Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων > 0.
Η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
Εξισώσεις ρίζας
Θεώρημα Vieta
Χρήσιμο θεώρημα για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων - Θεώρημα Vieta.
Αν ένα и
- ρίζες της εξίσωσης
Τ.
,
.
Για παράδειγμα, στην εξίσωση μας Το ποσό των ριζών είναι ίσο
, και το προϊόν των ριζών είναι ίσο
.
Η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους. Είναι δυνατόν να υπολογίσετε τις διακριτικές διακρίσεις ή να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Vieta και μερικές φορές μπορείτε απλά να μαντέψετε μία από τις ρίζες. Ή και τα δύο ρίζα.
Ατελείς τετραγωνικές εξισώσεις
Μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία ένας από τους συντελεστές Β ή C (ή και οι δύο) είναι μηδέν, που ονομάζεται ελλιπής. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν είναι απαραίτητο να αναζητηθούν διακριτικές διακρίσεις. Είναι ευκολότερο να επιλυθεί.
1) Εξετάστε την εξίσωση .
Σε αυτή την εξίσωση и
. Προφανώς
- τη μόνη ρίζα της εξίσωσης.
2) Εξετάστε την εξίσωση . Εδώ
και άλλοι συντελεστές μηδέν δεν είναι ίσοι.
Ο ευκολότερος τρόπος για να αποσυντεθεί το αριστερό μέρος των εργοστασιακών εξισώσεων από τον τύπο της τετραγωνικής διαφοράς είναι. Παίρνουμε:
Το προϊόν δύο πολλαπλασιαστών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι μηδέν.
Σημαίνει ή
.
3) Εδώ είναι μια παρόμοια εξίσωση: .
Στο μέτρο Η εξίσωση μπορεί να γραφτεί με τη μορφή:
Από εδώ ή
.
4) Αφήστε τώρα όχι μηδέν και
.
Εξετάστε την εξίσωση .
Το αριστερό μέρος του μπορεί να αποσυντεθεί σε πολλαπλασιαστές, εισάγοντας για αγκύλες. Παίρνουμε:
.
Το προϊόν δύο πολλαπλασιαστών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι μηδέν.
Σημαίνει ή
.
Αποσύνθεση τετραγωνικού τριών μελών
.
Εδώ и
- ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης
.
Θυμηθείτε αυτή τη φόρμουλα. Είναι απαραίτητο για την επίλυση τετραγωνικών και κλασματικών ορθολογικών ανισοτήτων.
Για παράδειγμα, η εξίσωση μας .
Τις ρίζες του ,
.
.
Χρήσιμο Lifhaki για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.
1) Είναι πολύ πιο εύκολο να επιλυθεί μια τετραγωνική εξίσωση εάν ο συντελεστής Α, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με το xx, είναι θετικός. Φαίνεται ότι αυτό είναι ένα μικροσκοπικό, σωστό; Αλλά πόσα λάθη στην εξέταση προκύπτουν λόγω του γεγονότος ότι ο φοιτητής του γυμνασίου αγνοεί αυτό το "trifle".
Για παράδειγμα, εξίσωση .
Είναι πολύ πιο εύκολο να το πολλαπλασιάσουμε στο 1 έτσι ώστε ο συντελεστής Α να γίνει θετικός. Παίρνουμε: .
Οι διακρίσεις αυτής της εξίσωσης είναι ίσοι .
Εξισώσεις ρίζας .
2) Πριν αποφασίσετε την τετραγωνική εξίσωση, κοιτάξτε το προσεκτικά. Ίσως μπορείτε να κόψετε και τα δύο μέρη κάποιων εξαρτημάτων σε κάποιον όχι ίσο αριθμό μηδέν;
Εδώ, για παράδειγμα, η εξίσωση .
Μπορείτε να μετρήσετε αμέσως τις διακρίσεις και τις ρίζες. Και μπορεί να σημειωθεί ότι όλοι οι συντελεστές и
Διαχωρίζονται σε 17. Αντικείμενα και τα δύο μέρη της εξίσωσης έως 17, παίρνουμε:
.
Εδώ δεν μπορείτε να μετρήσετε τις διακριτικές, αλλά αμέσως μαντέψτε την πρώτη ρίζα: . Και τη δεύτερη ρίζα
Το Easy βρίσκεται στο θεώρημα Vieta.
3) Η εργασία με κλασματικούς συντελεστές είναι άβολα. Για παράδειγμα, εξίσωση .
Έχετε ήδη μαντέψει τι να κάνετε. Πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη της εξίσωσης κατά 100! Παίρνουμε:
.
Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι ίσες με 1 και -6.
Δείτε επίσης: τετραγωνική λειτουργία