Τετραγωνικές εξισώσεις - Προετοιμασία για την εξέταση στα μαθηματικά

11.03.2021

Τετράγωνη εξίσωση - Προβολή εξίσωσης $AX ^ {2} + BX + C = 0$ όπου $A \ neq 0.$

Αριθμοί $Α, Β, Γ$ που αναφέρονται ως οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης.

Η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να έχει δύο έγκυρες ρίζες, μία έγκυρη ρίζα ή καμία.

Ο αριθμός των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης εξαρτάται από το σημάδι της έκφρασης, η οποία ονομάζεται διακριτική.

Διακριτική πλατεία εξίσησης: $D = b ^ {2} -4ac$ .

Αν ένα $ΡΕ.$ > 0, η πλατεία εξίσωση έχει δύο ρίζες: $X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A}$ и $X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}$ .

Αν ένα $ΡΕ.$ = 0, η τετραγωνική εξίσωση έχει τη μόνη ρίζα $X = - \ frac {b} {2a}$ .

Αν ένα $ΡΕ.$ <0, η πλατεία εξίσωση δεν έχει έγκυρες ρίζες.

Γράφουμε αρκετές τετραγωνικές εξισώσεις και ελέγξτε πόσες ρίζες έχουν.

ένας) $3x ^ {2} -4x-9 = 0$

Σε αυτή την εξίσωση $Α = 3.$ , $B = -4.$ , $C = -9.$ .

Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων $\ αριστερά (-4 \ δεξιά) {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ αριστερά (-9 \ δεξιά) = 16 + 108$ > 0. Η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

2) $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$

Σε αυτή την εξίσωση $a = 1, \; b = 4, \, c = 4$ .

Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων $4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0$ . Η εξίσωση έχει τη μόνη ρίζα.

Σημειώστε ότι στο αριστερό μέρος της εξίσωσης $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$ Υπάρχει μια έκφραση που ονομάζεται πλήρης πλατεία. Πράγματι, $x ^ {2} + 4x + 4 = \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) ^ {2}$ . Εφαρμόσαμε τον τύπο συντομευμένου πολλαπλασιασμού.

Την εξίσωση $\ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) {2} = 0$ Έχει τη μόνη ρίζα $x = -2.$ .

3) $3x ^ {2} -4x + 9 = 0$ .

Σε αυτή την εξίσωση $a = 3, \, b = -4, \, c = 9$ .

Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων $\ Αριστερά (-4 \ δεξιά) {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108$ <0. Δεν υπάρχουν ρίζες.

4) Επίλυση εξίσωσης $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

Ισιακές διακρίσεις εξισώσεων $\ Αριστερά (-3 \ Δεξιά) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ Αριστερά (-20 \ Δεξιά) = 9 + 160 = 169$ > 0.

Η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Εξισώσεις ρίζας

$X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4$

$X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5$

Θεώρημα Vieta

Χρήσιμο θεώρημα για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων - Θεώρημα Vieta.

Αν ένα $x_ {1}$ и $x_ {2}$ - ρίζες της εξίσωσης $AX ^ {2} + BX + C = 0$ Τ. $x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}$ , $x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}$ .

Για παράδειγμα, στην εξίσωση μας $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ Το ποσό των ριζών είναι ίσο $4-2.5 = 1.5 = - \ FRAC {-3} {2}$ , και το προϊόν των ριζών είναι ίσο $4 \ cdot \ αριστερά (-2.5 \ δεξιά) = - 10 = \ frac {-20} {2}$ .

Η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους. Είναι δυνατόν να υπολογίσετε τις διακριτικές διακρίσεις ή να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Vieta και μερικές φορές μπορείτε απλά να μαντέψετε μία από τις ρίζες. Ή και τα δύο ρίζα.

Ατελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία ένας από τους συντελεστές Β ή C (ή και οι δύο) είναι μηδέν, που ονομάζεται ελλιπής. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν είναι απαραίτητο να αναζητηθούν διακριτικές διακρίσεις. Είναι ευκολότερο να επιλυθεί.

1) Εξετάστε την εξίσωση $2x ^ {2} = 0$ .

Σε αυτή την εξίσωση $B = 0.$ и $C = 0.$ . Προφανώς $x = 0.$ - τη μόνη ρίζα της εξίσωσης.

2) Εξετάστε την εξίσωση $x ^ {2} -4 = 0$ . Εδώ $B = 0.$ και άλλοι συντελεστές μηδέν δεν είναι ίσοι.

Ο ευκολότερος τρόπος για να αποσυντεθεί το αριστερό μέρος των εργοστασιακών εξισώσεων από τον τύπο της τετραγωνικής διαφοράς είναι. Παίρνουμε:

$\ Αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά) = 0$

Το προϊόν δύο πολλαπλασιαστών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Σημαίνει $x = 2.$ ή $x = -2.$ .

3) Εδώ είναι μια παρόμοια εξίσωση: $x ^ {2} -5 = 0$ .

Στο μέτρο $5 = \ αριστερά (\ sqrt {5} \ δεξιά) ^ {2}$ Η εξίσωση μπορεί να γραφτεί με τη μορφή:

$\ αριστερά (x- \ sqrt {5} \ δεξιά) \ αριστερά (x + \ sqrt {5} \ δεξιά) = 0$

Από εδώ $X = \ sqrt {5}$ ή $X = - \ sqrt {5}$ .

4) Αφήστε τώρα $ΣΙ.$ όχι μηδέν και $C = 0.$ .

Εξετάστε την εξίσωση $3x ^ {2} + 5x = 0$ .

Το αριστερό μέρος του μπορεί να αποσυντεθεί σε πολλαπλασιαστές, εισάγοντας $Χ.$ για αγκύλες. Παίρνουμε:

$X \ αριστερά (3x + 5 \ δεξιά) = 0$ .

Το προϊόν δύο πολλαπλασιαστών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Σημαίνει $x = 0.$ ή $X = - \ frac {5} {3}$ .

Αποσύνθεση τετραγωνικού τριών μελών

$AX ^ {2} + bx + c = a \ αριστερά (x - x_ {1} \ δεξιά) \ αριστερά (x-x_ {2} \ δεξιά)$ .

Εδώ $x_ {1}$ и $x_ {2}$ - ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης $AX ^ {2} + BX + C = 0$ .

Θυμηθείτε αυτή τη φόρμουλα. Είναι απαραίτητο για την επίλυση τετραγωνικών και κλασματικών ορθολογικών ανισοτήτων.

Για παράδειγμα, η εξίσωση μας $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

Τις ρίζες του $X_ {1} = 4$ , $X_ {2} = - 2.5$ .

$2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ αριστερά (x-4 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2.5 \ δεξιά)$ .

Χρήσιμο Lifhaki για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

1) Είναι πολύ πιο εύκολο να επιλυθεί μια τετραγωνική εξίσωση εάν ο συντελεστής Α, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με το xx, είναι θετικός. Φαίνεται ότι αυτό είναι ένα μικροσκοπικό, σωστό; Αλλά πόσα λάθη στην εξέταση προκύπτουν λόγω του γεγονότος ότι ο φοιτητής του γυμνασίου αγνοεί αυτό το "trifle".

Για παράδειγμα, εξίσωση $-15x ^ {2} + 11x-2 = 0$ .

Είναι πολύ πιο εύκολο να το πολλαπλασιάσουμε στο 1 έτσι ώστε ο συντελεστής Α να γίνει θετικός. Παίρνουμε: $15x ^ {2} -11x + 2 = 0$ .

Οι διακρίσεις αυτής της εξίσωσης είναι ίσοι $11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1$ .

Εξισώσεις ρίζας $X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0,4$ .

2) Πριν αποφασίσετε την τετραγωνική εξίσωση, κοιτάξτε το προσεκτικά. Ίσως μπορείτε να κόψετε και τα δύο μέρη κάποιων εξαρτημάτων σε κάποιον όχι ίσο αριθμό μηδέν;

Εδώ, για παράδειγμα, η εξίσωση $17x ^ {2} + 34x-51 = 0$ .

Μπορείτε να μετρήσετε αμέσως τις διακρίσεις και τις ρίζες. Και μπορεί να σημειωθεί ότι όλοι οι συντελεστές $Α, Β.$ и $ΝΤΟ.$ Διαχωρίζονται σε 17. Αντικείμενα και τα δύο μέρη της εξίσωσης έως 17, παίρνουμε:

$x ^ {2} + 2x-3 = 0$ .

Εδώ δεν μπορείτε να μετρήσετε τις διακριτικές, αλλά αμέσως μαντέψτε την πρώτη ρίζα: $X_ {1} = 1$ . Και τη δεύτερη ρίζα $X_ {2} = - 3$ Το Easy βρίσκεται στο θεώρημα Vieta.