Quadratgleicher - Vorbereitung auf die Prüfung in der Mathematik

Square Gleichung - Ansicht Gleichung AX ^ {2} + BX + C = 0wo Ein \ neq 0.

Zahlen A, b, cals Koeffizienten der quadratischen Gleichung bezeichnet.

Die eckige Gleichung kann zwei gültige Wurzeln, ein gültiges Wurzel oder keine haben.

Die Anzahl der Wurzeln der eckigen Gleichung hängt von dem Anzeichen des Ausdrucks ab, der als diskriminierter bezeichnet wird.

Diskriminante eckige Gleichung: D = b ^ {2} -4ac.

Wenn ein D.> 0, die quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

Wenn ein D.= 0, die quadratische Gleichung hat die einzige Wurzel X = - \ frac {b} {2a}.

Wenn ein D.<0, die quadratische Gleichung hat keine gültigen Wurzeln.

Wir schreiben mehrere quadratische Gleichungen und überprüfen, wie viele Wurzeln sie haben.

eins) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

In dieser Gleichung. a = 3., B = -4., C = -9..

Diskriminante Gleichungen Gleichungen \ links (-4 \ rechts) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ linke (-9 \ rechts) = 16 + 108> 0. Die Gleichung hat zwei Wurzeln.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

In dieser Gleichung. a = 1, \; B = 4, \; c = 4.

Diskriminante Gleichungen Gleichungen 4 ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot 4 = 0. Die Gleichung hat die einzige Wurzel.

Beachten Sie, dass im linken Teil der Gleichung x ^ {2} + 4x + 4 = 0Es gibt einen Ausdruck, der als volles Quadrat bezeichnet wird. Tatsächlich, x ^ {2} + 4x + 4 = \ links (x + 2 \ rechts) ^ {2}. Wir haben die Formel der abgekürzten Multiplikation angewendet.

Die gleichung \ links (x + 2 \ rechts) ^ {2} = 0Es hat die einzige Wurzel x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

In dieser Gleichung. A = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Diskriminante Gleichungen Gleichungen \ Links (-4 \ rechts) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 9 = 16-108<0. Keine Wurzeln.

4) Lösen Sie Gleichung 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Diskriminante Gleichungen Gleichungen \ Links (-3 \ rechts) ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ linke (-20 \ rechts) = 9 + 160 = 169> 0.

Die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Wurzelgleichungen

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Vieta Theorem.

Nützlicher Theorem für das Lösen der quadratischen Gleichungen - Vieta Theorem.

Wenn ein x_ {1} и X_ {2}- Wurzeln der Gleichung AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

Zum Beispiel in unserer Gleichung 2x ^ {2} -3x-20 = 0Die Menge an Wurzeln ist gleich 4-2.5 = 1,5 = - \ frac {-3} {2}und das Produkt der Wurzeln ist gleich 4 \ cdot \ links (-2.5 \ rechts) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

Die quadratische Gleichung kann auf verschiedene Arten gelöst werden. Es ist möglich, das Diskriminant zu berechnen oder den Vieta-Satz zu verwenden, und manchmal können Sie einfach einen der Wurzeln erraten. Oder beide wurzeln.

Unvollständige quadratische Gleichungen.

Eine quadratische Gleichung, in der eine der Koeffizienten B oder C (oder beide von ihnen) Null ist, namens unvollständig. In solchen Fällen ist es nicht notwendig, diskriminierend zu suchen. Es ist einfacher zu lösen.

1) Betrachten Sie die Gleichung 2x ^ {2} = 0.

In dieser Gleichung. B = 0. и C = 0.. Offensichtlich x = 0.- die einzige Wurzel der Gleichung.

2) Betrachten Sie die Gleichung x ^ {2} -4 = 0. Hier B = 0.und andere Koeffizienten Null sind nicht gleich.

Der einfachste Weg, um den linken Teil der Fabrikgleichungen durch die Formel des quadratischen Unterschieds zu zersetzen. Wir bekommen:

\ Links (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ rechts) = 0

Das Produkt von zwei Multiplizierern ist unglaublich, wenn und nur, wenn mindestens einer von ihnen Null ist.

Es bedeutet x = 2.oder x = -2..

3) Hier ist eine ähnliche Gleichung: x ^ {2} -5 = 0.

Soweit 5 = \ links (\ sqrt {5} \ rechts) ^ {2}Die Gleichung kann in das Formular geschrieben werden:

\ links (x- \ sqrt {5} \ rechts) \ links (x + \ sqrt {5} \ rechts) = 0

Von hier X = \ sqrt {5}oder X = - \ sqrt {5}.

4) Jetzt lass B.nicht null und C = 0..

Betrachten Sie die Gleichung 3x ^ {2} + 5x = 0.

Sein linker Teil kann auf Multiplikatoren zersetzt werden, die einleitet X.für Klammern. Wir bekommen:

X \ links (3x + 5 \ rechts) = 0.

Das Produkt von zwei Multiplizierern ist unglaublich, wenn und nur, wenn mindestens einer von ihnen Null ist.

Es bedeutet x = 0.oder X = - \ frac {5} {3} .

Zersetzung eines quadratischen Drei-Melan

AX ^ {2} + BX + C = A \ Left (X - X_ {1} \ Right) \ Left (X-X_ {2} \ Right).

Hier x_ {1} и X_ {2}- Wurzeln der quadratischen Gleichung AX ^ {2} + BX + C = 0.

Erinnere dich an diese Formel. Es ist notwendig, quadratische und fraktionale Rational Ungleichheiten zu lösen.

Zum Beispiel unsere Gleichung 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Seine Wurzeln x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ links (x-4 \ rechts) \ links (x + 2.5 \ rechts).

Nützliche LifeHaki, um eckige Gleichungen zu lösen.

1) Es ist viel einfacher, eine quadratische Gleichung zu lösen, wenn der mit XX multiplizierte Koeffizient A positiv ist. Es scheint, dass dies ein Trifle ist, richtig? Aber wie viele Fehler auf der Prüfung sind aufgrund der Tatsache, dass der Highschool-Student diese "Kleinigkeit" ignoriert.

Zum Beispiel Gleichung -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Es ist viel einfacher, es auf 1 zu multiplizieren, so dass der Koeffizient A positiv wird. Wir bekommen: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Diskrimination dieser Gleichung ist gleich 11 ^ {2} -4 \ cdot 15 \ cdot 2 = 121-120 = 1.

Wurzelgleichungen X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0,4.

2) Bevor Sie die quadratische Gleichung entscheiden, sehen Sie es sorgfältig an. Vielleicht können Sie beide Teile einiger Teile auf eine nicht gleiche Nullzahl schneiden?

Hier zum Beispiel die Gleichung 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Sie können sofort diskriminierende und Wurzeln zählen. Und es kann darauf hingewiesen werden, dass alle Koeffizienten A, B. и C.Sie sind in 17 eingeteilt. Objekte Beide Teile der Gleichung bis 17, wir bekommen:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Hier können Sie das Diskriminierende nicht zählen, aber sofort die erste Wurzel erraten: X_ {1} = 1. Und die zweite Wurzel X_ {2} = - 3Einfach ist auf dem Vieta-Theorem.

3) Die Arbeit mit fraktionalen Koeffizienten ist unangenehm. Zum Beispiel Gleichung 0,01x ^ {2} + 0,05x-0,06 = 0.

Sie haben bereits vermutet, was zu tun ist. Multiplizieren Sie beide Teile der Gleichung pro 100! Wir bekommen:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind gleich 1 und -6.

Siehe auch: Quadratische Funktion

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