Firkantede ligninger - Forberedelse til eksamen i matematik

Firkantet ligning - Se ligning AX ^ {2} + BX + C = 0hvor A \ neq 0.

Numbers. A, B, Ckaldet koefficienterne for den firkantede ligning.

Den firkantede ligning kan have to gyldige rødder, en gyldig rod eller ingen.

Antallet af rødder af den firkantede ligning afhænger af tegnet af udtrykket, som kaldes diskriminer.

Diskriminelle kvadratligning: D = B ^ {2} -4AC.

Hvis en D.> 0, den firkantede ligning har to rødder: X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} и X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}.

Hvis en D.= 0, den firkantede ligning har den eneste rod X = - \ frac {b} {2a}.

Hvis en D.<0, den firkantede ligning har ingen gyldige rødder.

Vi skriver flere firkantede ligninger og kontrollerer, hvor mange rødder de har.

en) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

I denne ligning a = 3., B = -4., C = -9..

Diskriminelle ligninger ligninger. \ venstre (-4 \ højre) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT \ VENSTRE (-9 \ Right) = 16 + 108> 0. Ligningen har to rødder.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

I denne ligning a = 1, \; b = 4, \; c = 4.

Diskriminelle ligninger ligninger. 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0. Ligningen har den eneste rod.

Bemærk, at i den venstre del af ligningen x ^ {2} + 4x + 4 = 0Der er et udtryk, der kaldes en fuld plads. Ja, x ^ {2} + 4x + 4 = \ venstre (x + 2 \ højre) ^ {2}. Vi anvendte formlen for forkortet multiplikation.

Ligningen. \ venstre (x + 2 \ højre) ^ {2} = 0Det har den eneste rod x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

I denne ligning a = 3, \; b = -4, \; c = 9.

Diskriminelle ligninger ligninger. \ Venstre (-4 \ højre) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. Ingen rødder.

4) Løs ligning 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Diskriminelle ligninger ligninger. \ Venstre (-3 \ højre) ^ {2} -4 \ cdot 2 \ cdot \ venstre (-20 \ højre) = 9 + 160 = 169> 0.

Ligningen har to rødder.

Rod ligninger.

X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

Vieta Theorem

Nyttig sætning til løsning af kvadratligninger - Vieta sætning.

Hvis en x_ {1} и X_ {2}- Rødder af ligningen AX ^ {2} + BX + C = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

For eksempel i vores ligning 2x ^ {2} -3x-20 = 0Mængden af ​​rødder er ens 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}, og produktet af rødderne er ens 4 \ cdot \ venstre (-2.5 \ højre) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

Den firkantede ligning kan løses på flere måder. Det er muligt at beregne diskriminanten eller bruge Vieta-sætningen, og nogle gange kan du simpelthen gætte en af ​​rødderne. Eller begge rod.

Ufuldstændige kvadratiske ligninger.

En firkantet ligning, hvor en af ​​koefficienterne B eller C (eller begge dem) er nul, kaldet ufuldstændig. I sådanne tilfælde er det ikke nødvendigt at søge diskriminer. Det er lettere at løse.

1) Overvej ligningen 2x ^ {2} = 0.

I denne ligning B = 0. и C = 0.. Naturligvis x = 0.- Den eneste rod af ligningen.

2) Overvej ligningen x ^ {2} -4 = 0. Her B = 0.og andre koefficienter nul er ikke ens.

Den nemmeste måde at nedbryde den venstre del af fabriksligningerne ved hjælp af formlen på den firkantede forskel er. Vi får:

\ Venstre (x-2 \ højre) \ venstre (x + 2 \ højre) = 0

Produktet af to multiplikatorer er nul, hvis og kun hvis mindst en af ​​dem er nul.

Det betyder x = 2.eller x = -2..

3) Her er en lignende ligning: x ^ {2} -5 = 0.

For så vidt. 5 = \ venstre (\ sqrt {5} \ højre) ^ {2}Ligningen kan skrives i formularen:

\ venstre (x- \ sqrt {5} \ højre) \ venstre (x + \ sqrt {5} \ højre) = 0

Herfra X = \ sqrt {5}eller X = - \ sqrt {5}.

4) Lad nu B.ikke nul og. C = 0..

Overvej ligningen 3x ^ {2} + 5x = 0.

Dens venstre del kan dekomponeres på multiplikatorer, introducere X.til parenteser. Vi får:

X \ venstre (3x + 5 \ højre) = 0.

Produktet af to multiplikatorer er nul, hvis og kun hvis mindst en af ​​dem er nul.

Det betyder x = 0.eller X = - \ frac {5} {3} .

Nedbrydning af en firkantet tre-melan

AX ^ {2} + BX + C = A \ Venstre (X - X_ {1} \ Højre) \ Venstre (X-X_ {2} \ HØJRE).

Her x_ {1} и X_ {2}- Rødder af den firkantede ligning AX ^ {2} + BX + C = 0.

Husk denne formel. Det er nødvendigt at løse kvadratiske og fraktionelle rationelle uligheder.

For eksempel er vores ligning 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Hans rødder. x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ venstre (x-4 \ højre) \ venstre (x + 2,5 \ højre).

Nyttige Lifehaki til at løse firkantede ligninger.

1) Det er meget lettere at løse en firkantet ligning, hvis koefficienten A, som multipliceres med XX, er positiv. Det ser ud til, at dette er en lille smule, ikke? Men hvor mange fejl på eksamen opstår på grund af det faktum, at gymnasiet ikke ignorerer denne "bagage".

For eksempel ligning -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Det er meget lettere at formere det til 1, så koefficienten A bliver positiv. Vi får: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Diskriminelle af denne ligning er lige 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

Rod ligninger. X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0,4.

2) Før du beslutter den firkantede ligning, skal du se omhyggeligt. Måske kan du skære begge dele af nogle dele til nogle ikke lige så nulnummer?

Her for eksempel ligningen 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Du kan straks tælle diskriminer og rødder. Og det kan bemærkes, at alle koefficienterne A, B. и C.De er opdelt i 17. Objekter begge dele af ligningen til 17, vi får:

x ^ {2} + 2x-3 = 0.

Her kan du ikke tælle diskriminanter, men straks gætte den første rod: X_ {1} = 1. Og den anden rod X_ {2} = - 3Nem er placeret på Vieta Teorem.

3) Arbejde med fraktionerede koefficienter er ubehageligt. For eksempel ligning 0,01x ^ {2} + 0,05x-0,06 = 0.

Du har allerede gættet hvad du skal gøre. Multiplicer begge dele af ligningen pr. 100! Vi får:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Rødderne af denne ligning er lig med 1 og -6.

Se også: Quadratisk funktion

Новости

Добавить комментарий