Čtvercové rovnice - příprava na zkoušku v matematice

Čtvercová rovnice - Zobrazit rovnici Ax ^ {2} + bx + c = 0kde Neq 0.

Čísla A, B, Cjako koeficienty čtvercové rovnice.

Čtvercová rovnice může mít dvě platné kořeny, jeden platný kořen nebo žádný.

Počet kořenů čtvercové rovnice závisí na znamení výrazu, který se nazývá diskriminační.

Diskriminační čtvercová rovnice: D = b ^ {2} -4AC.

Pokud D.> 0, čtvercová rovnice má dvě kořeny: X_ {1} = Frac {-B + sqrt {d}} {2A} и X_ {2} = Frac {-B- \ SQRT {d}} {2A}.

Pokud D.= 0, čtvercová rovnice má jediný kořen X = - frac {b} {2A}.

Pokud D.<0, čtvercová rovnice nemá žádné platné kořeny.

Píšeme několik čtvercových rovnic a zkontrolujte, kolik kořenů mají.

jeden) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

V této rovnici A = 3., B = -4., C = -9..

Diskriminační rovnice rovnice vlevo (-4 vpravo) ^ {2} -4 cdot 3 cdot vlevo (-9 vpravo) = 16 + 108> 0. Rovnice má dva kořeny.

2) x ^ {2} + 4x + 4 = 0

V této rovnici A = 1; b = 4,; c = 4.

Diskriminační rovnice rovnice 4 ^ {2} -4 cdot 1 cdot 4 = 0. Rovnice má jediný kořen.

Všimněte si, že v levé části rovnice x ^ {2} + 4x + 4 = 0Existuje výraz, který se nazývá plné náměstí. Vskutku, x ^ {2} + 4x + 4 = vlevo (x + 2) ^ {2}. Použili jsme vzorec zkrácených násobení.

Rovnice vlevo (x + 2) ^ {2} = 0Má jediný kořen X = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

V této rovnici a = 3, b = -4,; c = 9.

Diskriminační rovnice rovnice Vlevo (-4 vpravo) ^ {2} -4 cdot 3 cdot 9 = 16-108<0. Žádné kořeny.

4) Řešení rovnice 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Diskriminační rovnice rovnice Vlevo (-3 vpravo) ^ {2} -4 cdot 2 cdot vlevo (-20 \ t vpravo) = 9 + 160 = 169> 0.

Rovnice má dva kořeny.

Kořenové rovnice

X_ {1} = Frac {-B + SQRT {d}} {2A} = Frac {3 + 13} {4} = 4

X_ {2} = Frac {-B- \ SQRT {d}} {2A} = Frac {3-13} {4} = - 2.5

Vieta teorém

Užitečný teorém pro řešení čtvercových rovnic - Vieta Teorem.

Pokud x_ {1} и X_ {2}- kořeny rovnice Ax ^ {2} + bx + c = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - frac {b} {a}, X_ {1} x_ {2} = Frac {C} {A}.

Například v naší rovnici 2x ^ {2} -3x-20 = 0Množství kořenů je stejné 4-2.5 = 1,5 = - frac {-3} {2}a produkt kořenů je stejný 4 CDOT vlevo (-2.5 vpravo) = - 10 = frac {-20} {2}.

Čtvercová rovnice může být vyřešena několika způsoby. Je možné vypočítat diskriminaci nebo použít Vieta teorém, a někdy můžete jednoduše odhadnout jeden z kořenů. Nebo oba kořeny.

Neúplné čtvercové rovnice

Čtvercová rovnice, ve které je jedna z koeficientů B nebo C (nebo oba) nulová, nazývaná neúplná. V takových případech není nutné hledat diskriminaci. Je snadnější vyřešit.

1) Zvažte rovnici 2x ^ {2} = 0.

V této rovnici B = 0. и C = 0.. Očividně x = 0.- jediný kořen rovnice.

2) Zvažte rovnici X ^ {2} -4 = 0. Tady B = 0.a další koeficienty nula nejsou stejné.

Nejjednodušší způsob, jak rozložit levou část továrních rovnic vzorce čtvercového rozdílu je. Dostaneme:

Vlevo (X-2 vpravo) vlevo (X + 2) = 0

Produkt dvou multiplikátorů je nulový, pokud a pouze pokud je alespoň jeden z nich nulový.

To znamená x = 2.nebo X = -2..

3) Zde je podobná rovnice: X ^ {2} -5 = 0.

InfoFar as. 5 = vlevo (SQRT {5} vpravo) ^ {2}Rovnice může být napsána ve formě:

vlevo (X- SQRT {5} vpravo) vlevo (X + SQRT {5} vpravo) = 0

Odtud X = sqrt {5}nebo X = - sqrt {5}.

4) Nechte se teď B.není nula a. C = 0..

Zvážit rovnici 3x ^ {2} + 5x = 0.

Jeho levá část může být rozložena na násobiteli, zavedení X.pro závorky. Dostaneme:

X vlevo (3x + 5) = 0.

Produkt dvou multiplikátorů je nulový, pokud a pouze pokud je alespoň jeden z nich nulový.

To znamená x = 0.nebo X = - Frac {5} {3} .

Rozložení čtverce tří melanu

Ax ^ {2} + bx + c = a vlevo (x - x_ {1} vpravo) vpravo (x-x_ {2} vpravo).

Tady x_ {1} и X_ {2}- kořeny čtvercové rovnice Ax ^ {2} + bx + c = 0.

Vzpomeňte si na tento vzorec. Je nezbytné pro řešení kvadratických a zlomkových racionálních nerovností.

Například naše rovnice 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

Jeho kořeny x_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 vlevo (X-4 vpravo) vlevo (X + 2.5).

Užitečné LifeHaki řešit čtvercové rovnice.

1) Je mnohem snazší vyřešit čtvercovou rovnici, pokud je koeficient A, který se násobí XX, je pozitivní. Zdá se, že je to maličkost, že? Ale kolik chyb na zkoušce vzniká kvůli skutečnosti, že student střední školy ignoruje tuto "maličkost".

Například rovnice -15x ^ {2} + 11x-2 = 0.

Je mnohem snazší násobit to 1 tak, aby se koeficient stal pozitivním. Dostaneme: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

Diskriminace této rovnice je stejný 11 ^ {2} -4 CDOT 15 CDOT 2 = 121-120 = 1.

Kořenové rovnice X_ {1} = Frac {1} {3},; x_ {2} = 0.4.

2) Než rozhodnete čtvercovou rovnici, podívejte se na to opatrně. Možná můžete řezat obě části některých částí do některých ne rovných nulových čísel?

Zde například rovnice 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

Můžete okamžitě počítat diskriminaci a kořeny. A může být poznamenáno, že všechny koeficienty A, B. и C.Jsou rozděleny do 17. Objekty obě části rovnice do 17, dostaneme:

X ^ {2} + 2x-3 = 0.

Zde nemůžete spočítat diskriminační, ale okamžitě odhadněte první kořen: X_ {1} = 1. A druhý kořen X_ {2} = - 3Snadné se nachází na Vietské věty.

3) Práce s frakčními koeficienty je nepříjemné. Například rovnice 0,01x ^ {2} + 0,05x-0,06 = 0.

Už jste hádali, co dělat. Vynásobte obě části rovnice na 100! Dostaneme:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

Kořeny této rovnice jsou rovny 1 a -6.

Viz také: Kvadratická funkce

Новости

Добавить комментарий