স্কয়ার সমীকরণ - গণিত পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি

11.03.2021

স্কয়ার সমীকরণ - সমীকরণ দেখুন $AX ^ {2} + BX + C = 0$ কোথায় $একটি \ neq 0।$

সংখ্যা $এ, বি, সি$ বর্গ সমীকরণের coefficients হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

বর্গক্ষেত্র সমীকরণ দুটি বৈধ শিকড়, একটি বৈধ রুট বা কেউ থাকতে পারে।

বর্গক্ষেত্র সমীকরণের শিকড়ের সংখ্যা অভিব্যক্তিটির চিহ্নের উপর নির্ভর করে, যা বৈষম্যমূলক বলা হয়।

বৈষম্যমূলক বর্গ সমীকরণ: $ডি = বি ^ {2} -4AC$ .

যদি একটি $ডি।$ > 0, স্কয়ার সমীকরণ দুটি শিকড় আছে: $X_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2a}$ и $X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a}$ .

যদি একটি $ডি।$ = 0, স্কয়ার সমীকরণের একমাত্র রুট আছে $X = - \ frac {b} {2a}$ .

যদি একটি $ডি।$ <0, স্কয়ার সমীকরণের কোন বৈধ শিকড় নেই।

আমরা বিভিন্ন বর্গ সমীকরণ লিখি এবং তাদের কত শিকড় আছে তা পরীক্ষা করে দেখুন।

এক) $3x ^ {2} -4x-9 = 0$

এই সমীকরণে $একটি = 3।$ , $বি = -4।$ , $C = -9।$ .

বৈষম্য সমীকরণ সমীকরণ $\ বাম (-4 \ ডান) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT \ বাম (-9 \ ডান) = 16 + 108$ > 0. সমীকরণ দুটি শিকড় আছে।

2) $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$

এই সমীকরণে $একটি = 1, \; বি = 4, \; সি = 4$ .

বৈষম্য সমীকরণ সমীকরণ $4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0$ । সমীকরণ শুধুমাত্র রুট আছে।

মনে রাখবেন যে সমীকরণের বাম অংশে $x ^ {2} + 4x + 4 = 0$ একটি পূর্ণ বর্গক্ষেত্র বলা হয় যে একটি অভিব্যক্তি আছে। প্রকৃতপক্ষে, $x ^ {2} + 4x + 4 = \ বাম (+ 2 \ ডান) ^ {2}$ । আমরা সংক্ষিপ্ত গুণমান সূত্র প্রয়োগ।

সমীকরণটি $\ বাম (এক্স + 2 \ ডান) ^ {2} = 0$ এটা একমাত্র রুট আছে $এক্স = -2।$ .

3) $3x ^ {2} -4x + 9 = 0$ .

এই সমীকরণে $একটি = 3, \; b = -4, \; সি = 9$ .

বৈষম্য সমীকরণ সমীকরণ $\ বাম (-4 \ ডান) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108$ <0। কোন শিকড়।

4) সমীকরণ সমাধান করুন $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

বৈষম্য সমীকরণ সমীকরণ $\ বাম (-3 \ ডান) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ বাম (-20 \ ডান) = 9 + 160 = 169$ > 0।

সমীকরণ দুটি শিকড় আছে।

রুট সমীকরণ

$X_ {1} = \ Frac {-b + + SQRT {D}} {2A} = \ Frac {3 + 13} {4} = 4$

$X_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2a} = \ Frac {3-13} {4} = - 2.5$

ভিয়েতনাম থিওরেম

স্কয়ার সমীকরণ সমাধানের জন্য দরকারী থিওরেম - ভিয়েতনাম থিওরিম।

যদি একটি $x_ {1}$ и $X_ {2}$ - সমীকরণের শিকড় $AX ^ {2} + BX + C = 0$ টি। $x_ {1} + x_ {2} = - \ Frac {B} {একটি}$ , $x_ {1} x_ {2} = \ Frac {C} {একটি}$ .

উদাহরণস্বরূপ, আমাদের সমীকরণে $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ শিকড় পরিমাণ সমান $4-2.5 = 1.5 = - \ Frac {-3} {2}$ , এবং শিকড় পণ্য সমান $4 \ CDOT \ বাম (-2.5 \ ডান) = - 10 = \ Frac {-20} {2}$ .

বর্গ সমীকরণ বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে। বৈষম্যমূলক গণনা করা বা ভিয়েতনাম থিওরেম ব্যবহার করা সম্ভব, এবং কখনও কখনও আপনি কেবল শিকড়গুলির মধ্যে একটি অনুমান করতে পারেন। অথবা উভয় রুট।

অসম্পূর্ণ বর্গ সমীকরণ

একটি বর্গক্ষেত্র সমীকরণ যা সহ coefficients বি বা সি (অথবা উভয়) এক শূন্য, বলা অসম্পূর্ণ বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, বৈষম্য চাইতে প্রয়োজন হয় না। এটা সমাধান করা সহজ।

1) সমীকরণ বিবেচনা $2x ^ {2} = 0$ .

এই সমীকরণে $বি = 0।$ и $সি = 0।$ । স্পষ্টত $এক্স = 0।$ - সমীকরণের একমাত্র রুট।

2) সমীকরণ বিবেচনা করুন $x ^ {2} -4 = 0$ । এখানে $বি = 0।$ এবং অন্যান্য coefficients শূন্য সমান নয়।

বর্গক্ষেত্রের সূত্রের সূত্র দ্বারা কারখানা সমীকরণের বাম অংশটি বিচ্ছিন্ন করার সবচেয়ে সহজ উপায়। আমরা পেতে:

$\ বাম (এক্স -2 \ ডান) \ বাম (এক্স + 2 \ ডান) = 0$

দুটি গুণক পণ্যটি শূন্য কিনা এবং শুধুমাত্র যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি শূন্য হয়।

এটা মানে $এক্স = 2।$ অথবা $এক্স = -2।$ .

3) এখানে একটি অনুরূপ সমীকরণ: $x ^ {2} -5 = 0$ .

যতটুকু $5 = \ বামে (\ sqrt {5} \ ডান) ^ {2}$ সমীকরণটি ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে:

$\ বাম (x- \ sqrt {5} \ quide) \ বাম (x + \ sqrt {5} \ ride) = 0$

এখান থেকে $X = \ sqrt {5}$ অথবা $এক্স = - \ SQRT {5}$ .

4) এখন যাক $বি।$ জিরো না $সি = 0।$ .

সমীকরণ বিবেচনা করুন $3x ^ {2} + 5x = 0$ .

তার বাম অংশ প্রবর্তিত গুণাবলী উপর decomposed করা যেতে পারে $এক্স.$ বন্ধনী জন্য। আমরা পেতে:

$এক্স \ বাম (3x + 5 \ ডান) = 0$ .

এটা মানে $এক্স = 0।$ অথবা $X = - \ Frac {5} {3}$ .

একটি বর্গক্ষেত্র তিন-মেলান এর বিচ্ছেদ

$AX ^ {2} + bx + c = a \ বাম (x - x_ {1} \ quide) \ বাম (x-x_ {2} \ QUIDE)$ .

এখানে $x_ {1}$ и $X_ {2}$ - বর্গ সমীকরণ শিকড় $AX ^ {2} + BX + C = 0$ .

এই সূত্র মনে রাখবেন। এটি চতুর্ভুজ এবং আংশিক যুক্তিসঙ্গত বৈষম্য সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয়।

উদাহরণস্বরূপ, আমাদের সমীকরণ $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

তার শিকড় $x_ {1} = 4$ , $X_ {2} = - 2.5$ .

$2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ বাম (এক্স -4 \ ডান) \ বাম (x + 2.5 \ ডান)$ .

বর্গক্ষেত্র সমীকরণ সমাধান করার জন্য দরকারী জীবনহাকি।

1) যদি এমন একটি স্কোয়ার সমীকরণ সমাধান করা আরও সহজ, যদি XX দ্বারা গুণিত হয়, এটি ইতিবাচক। মনে হচ্ছে এটি একটি ট্রাইফেল, ঠিক আছে? কিন্তু উচ্চ বিদ্যালয় ছাত্র এই "ট্রাইফেল" উপেক্ষা করে পরীক্ষার উপর কতগুলি ভুল হয়।

উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ $-15x ^ {2} + 11x-2 = 0$ .

এটি 1 তে গুণমানের পক্ষে এটি আরও সহজ, যাতে সমবায় একটি ইতিবাচক হয়ে যায়। আমরা পেতে: $15x ^ {2} -11x + 2 = 0$ .

এই সমীকরণ বৈষম্য সমান $11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1$ .

রুট সমীকরণ $X_ {1} = \ frac {1} {3}, \; x_ {2} = 0.4$ .

2) বর্গক্ষেত্র সমীকরণ সিদ্ধান্ত নেওয়ার আগে, এটি সাবধানে তাকান। হয়তো আপনি কিছু অংশে উভয় অংশে শূন্য নম্বরটি সমান নয়?

এখানে, উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ $17x ^ {2} + 34x-51 = 0$ .

আপনি অবিলম্বে বৈষম্যমূলক এবং শিকড় গণনা করতে পারেন। এবং এটা সব coefficients যে উল্লেখ করা যেতে পারে $এ, বি।$ и $সি।$ তারা 17 ভাগে বিভক্ত করা হয়। বস্তুর উভয় অংশ 17 পর্যন্ত, আমরা পেতে পারি:

$x ^ {2} + 2x-3 = 0$ .

এখানে আপনি বৈষম্যমূলক গণনা করতে পারবেন না, তবে অবিলম্বে প্রথম রুটটি অনুমান করুন: $X_ {1} = 1$ । এবং দ্বিতীয় রুট $X_ {2} = - 3$ সহজ ভিয়েতনাম থিওরেম উপর অবস্থিত।