معادلات مربع - تحضير للامتحان في الرياضيات

معادلة مربع - عرض المعادلة الفأس ^ {2} + bx + c = 0أين \ Neq 0.

أعداد أ، ب، جيشار إليها باسم معاملات المعادلة المربعة.

قد يكون لدى المعادلة المربعة جذورين صالحين، وجذر واحد صالح أو لا شيء.

يعتمد عدد جذور المعادلة المربعة على علامة التعبير، والتي تسمى التمييزي.

معادلة مربعة مميزة: د = ب ^ {2} -4ac.

اذا كان د.> 0، المعادلة المربعة لها جذوران: x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} и x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2A}.

اذا كان د.= 0، المعادلة المربعة لها الجذر الوحيد x = - \ frac {b} {2A}.

اذا كان د.<0، المعادلة المربعة لا تحتوي على جذور صالحة.

نحن نكتب عدة معادلات مربعة وتحقق من عدد الجذور التي لديهم.

واحد) 3x ^ {2} -4x-9 = 0

في هذه المعادلة a = 3., ب = -4., ج = -9..

معادلات المعادلات التمييزية \ اليسار (-4 \ اليمين) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ left (-9 \ right) = 16 + 108> 0. المعادلة له دوران.

2) X ^ {2} + 4x + 4 = 0

في هذه المعادلة a = 1، \؛ ب = 4، \؛ ج = 4.

معادلات المعادلات التمييزية 4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0وبعد المعادلة لها الجذر الوحيد.

لاحظ أنه في الجزء الأيسر من المعادلة X ^ {2} + 4x + 4 = 0هناك تعبير يسمى مربع كامل. بالفعل، X ^ {2} + 4x + 4 = \ left (x + 2 \ right) ^ {2}وبعد طبقت صيغة الضرب المختصر.

المعادلة \ اليسار (x + 2 \ right) ^ {2} = 0لديها الجذر الوحيد x = -2..

3) 3x ^ {2} -4x + 9 = 0.

في هذه المعادلة a = 3، \؛ b = -4، \؛ c = 9.

معادلات المعادلات التمييزية \ غادر (-4 \ اليمين) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108<0. لا جذور.

4) حل المعادلة 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

معادلات المعادلات التمييزية \ اليسار (-3 \ اليمين) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ left (-20 \ right) = 9 + 160 = 169> 0.

المعادلة لها جذورين.

معادلات الجذر

x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} = \ frac {3 + 13} {4} = 4

x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2A} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5

نظرية فييتا

نظرية مفيدة لحل المعادلات مربع - نظرية فييتا.

اذا كان x_ {1} и x_ {2}- جذور المعادلة الفأس ^ {2} + bx + c = 0T. x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}, x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}.

على سبيل المثال، في معادلةنا 2x ^ {2} -3x-20 = 0كمية الجذور متساوية 4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}، ومنتج الجذور متساوي 4 \ cdot \ left (-2.5 \ right) = - 10 = \ frac {-20} {2}.

يمكن حل المعادلة المربعة بعدة طرق. من الممكن حساب التمييز أو استخدام نظرية Vieta، وأحيانا يمكنك ببساطة تخمين واحدة من الجذور. أو كلا الجذورين.

معادلات مربع غير كاملة

معادلة مربعة فيها أحد المعاملات B أو C (أو كلاهما) صفر، يسمى Incomplete. في مثل هذه الحالات، ليس من الضروري البحث عن تمييز. من الأسهل حلها.

1) النظر في المعادلة 2x ^ {2} = 0.

في هذه المعادلة ب = 0. и ج = 0.وبعد بشكل ملحوظ س = 0.- الجذر الوحيد للمعادلة.

2) النظر في المعادلة X ^ {2} -4 = 0وبعد هنا ب = 0.وغيرها من المعاملات صفر ليست متساوية.

أسهل طريقة لتحلل الجزء الأيسر من معادلات المصنع من خلال صيغة الفرق المربع هو. نحن نحصل:

\ اليسار (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right) = 0

المنتج من مضاعتين هو الصفر إذا وفقط إذا كان واحد منهم على الأقل صفر.

هذا يعني x = 2.أو x = -2..

3) إليك معادلة مماثلة: X ^ {2} -5 = 0.

بقية as. 5 = \ left (\ sqrt {5} \ right) ^ {2}يمكن كتابة المعادلة في النموذج:

\ اليسار (x- \ sqrt {5} \ right) \ left (x + \ sqrt {5} \ right) = 0

من هنا x = \ sqrt {5}أو X = - \ SQRT {5}.

4) دع الآن ب.ليس الصفر و ج = 0..

النظر في المعادلة 3x ^ {2} + 5x = 0.

الجزء الأيسر يمكن أن يكون متحللا على المضاعفات، وإدخال عاشربين قوسين. نحن نحصل:

x \ left (3x + 5 \ right) = 0.

المنتج من مضاعتين هو الصفر إذا وفقط إذا كان واحد منهم على الأقل صفر.

هذا يعني س = 0.أو X = - \ FRAC {5} {3} .

تحلل مربع ثلاثة ميلان

AX ^ {2} + bx + c = a \ left (x - x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right).

هنا x_ {1} и x_ {2}- جذور المعادلة المربعة الفأس ^ {2} + bx + c = 0.

تذكر هذه الصيغة. من الضروري لحل التفاوتات التربيعية والكسرية.

على سبيل المثال، معادلةنا 2x ^ {2} -3x-20 = 0.

جذوره X_ {1} = 4,X_ {2} = - 2.5.

2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ left (x-4 \ right) \ left (x + 2.5 \ right).

Lifehaki مفيدة لحل المعادلات المربعة.

1) من الأسهل بكثير حل معادلة مربعة إذا كان معامل A، مضروبة في XX، إيجابيا. يبدو أن هذا تافه، أليس كذلك؟ ولكن عدد الأخطاء في الامتحان تنشأ بسبب حقيقة أن طالب المدرسة الثانوية يتجاهل هذا "تافه".

على سبيل المثال، المعادلة -15x ^ ^ {2} + 11x-2 = 0.

من الأسهل كثيرا أن تضاعفها إلى 1 بحيث يصبح المعامل إيجابيا. نحن نحصل: 15x ^ {2} -11x + 2 = 0.

تمييزي لهذه المعادلة متساوية 11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1.

معادلات الجذر x_ {1} = \ frac {1} {3}، \؛ x_ {2} = 0.4.

2) قبل تحديد المعادلة المربعة، انظر إليها بعناية. ربما يمكنك قص كلا الطرفين من بعض الأجزاء إلى عدد لا يساوي الصفر؟

هنا، على سبيل المثال، المعادلة 17x ^ {2} + 34x-51 = 0.

يمكنك الاعتماد على الفور التمييز والجذور. ويمكن ملاحظة أن جميع المعاملات أ، ب. и جيميتم تقسيمها إلى 17. كائنات كلا الطرفين من المعادلة إلى 17 عاما، نحصل على:

X ^ {2} + 2x-3 = 0.

هنا لا يمكنك حساب التمييز، ولكن فورا تخمين الجذر الأول: X_ {1} = 1وبعد والجذر الثاني x_ {2} = - 3سهلة موجودة في نظرية فييتا.

3) العمل مع المعاملات الكسرية غير مريحة. على سبيل المثال، المعادلة 0.01x ^ {2} + 0.05x-0.06 = 0.

لقد خمنت بالفعل ما يجب القيام به. اضرب كلا جزأين المعادلة لكل 100! نحن نحصل:

X ^ {2} + 5x-6 = 0.

جذور هذه المعادلة تساوي 1 و -6.

انظر أيضا: الوظيفة التربيعية

Новости

Добавить комментарий