معادلات مربع - تحضير للامتحان في الرياضيات

11.03.2021

معادلة مربع - عرض المعادلة $الفأس ^ {2} + bx + c = 0$ أين $\ Neq 0.$

أعداد $أ، ب، ج$ يشار إليها باسم معاملات المعادلة المربعة.

قد يكون لدى المعادلة المربعة جذورين صالحين، وجذر واحد صالح أو لا شيء.

يعتمد عدد جذور المعادلة المربعة على علامة التعبير، والتي تسمى التمييزي.

معادلة مربعة مميزة: $د = ب ^ {2} -4ac$ .

اذا كان $د.$ > 0، المعادلة المربعة لها جذوران: $x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A}$ и $x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2A}$ .

اذا كان $د.$ = 0، المعادلة المربعة لها الجذر الوحيد $x = - \ frac {b} {2A}$ .

اذا كان $د.$ <0، المعادلة المربعة لا تحتوي على جذور صالحة.

نحن نكتب عدة معادلات مربعة وتحقق من عدد الجذور التي لديهم.

واحد) $3x ^ {2} -4x-9 = 0$

في هذه المعادلة $a = 3.$ , $ب = -4.$ , $ج = -9.$ .

معادلات المعادلات التمييزية $\ اليسار (-4 \ اليمين) ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot \ left (-9 \ right) = 16 + 108$ > 0. المعادلة له دوران.

2) $X ^ {2} + 4x + 4 = 0$

في هذه المعادلة $a = 1، \؛ ب = 4، \؛ ج = 4$ .

معادلات المعادلات التمييزية $4 ^ {2} -4 \ CDOT 1 \ CDOT 4 = 0$ وبعد المعادلة لها الجذر الوحيد.

لاحظ أنه في الجزء الأيسر من المعادلة $X ^ {2} + 4x + 4 = 0$ هناك تعبير يسمى مربع كامل. بالفعل، $X ^ {2} + 4x + 4 = \ left (x + 2 \ right) ^ {2}$ وبعد طبقت صيغة الضرب المختصر.

المعادلة $\ اليسار (x + 2 \ right) ^ {2} = 0$ لديها الجذر الوحيد $x = -2.$ .

3) $3x ^ {2} -4x + 9 = 0$ .

في هذه المعادلة $a = 3، \؛ b = -4، \؛ c = 9$ .

معادلات المعادلات التمييزية $\ غادر (-4 \ اليمين) ^ {2} -4 \ CDOT 3 \ CDOT 9 = 16-108$ <0. لا جذور.

4) حل المعادلة $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

معادلات المعادلات التمييزية $\ اليسار (-3 \ اليمين) ^ {2} -4 \ CDOT 2 \ CDOT \ left (-20 \ right) = 9 + 160 = 169$ > 0.

المعادلة لها جذورين.

معادلات الجذر

$x_ {1} = \ frac {-b + \ sqrt {d}} {2A} = \ frac {3 + 13} {4} = 4$

$x_ {2} = \ frac {-b- \ sqrt {d}} {2A} = \ frac {3-13} {4} = - 2.5$

نظرية فييتا

نظرية مفيدة لحل المعادلات مربع - نظرية فييتا.

اذا كان $x_ {1}$ и $x_ {2}$ - جذور المعادلة $الفأس ^ {2} + bx + c = 0$ T. $x_ {1} + x_ {2} = - \ frac {b} {a}$ , $x_ {1} x_ {2} = \ frac {c} {a}$ .

على سبيل المثال، في معادلةنا $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ كمية الجذور متساوية $4-2.5 = 1.5 = - \ frac {-3} {2}$ ، ومنتج الجذور متساوي $4 \ cdot \ left (-2.5 \ right) = - 10 = \ frac {-20} {2}$ .

يمكن حل المعادلة المربعة بعدة طرق. من الممكن حساب التمييز أو استخدام نظرية Vieta، وأحيانا يمكنك ببساطة تخمين واحدة من الجذور. أو كلا الجذورين.

معادلات مربع غير كاملة

معادلة مربعة فيها أحد المعاملات B أو C (أو كلاهما) صفر، يسمى Incomplete. في مثل هذه الحالات، ليس من الضروري البحث عن تمييز. من الأسهل حلها.

1) النظر في المعادلة $2x ^ {2} = 0$ .

في هذه المعادلة $ب = 0.$ и $ج = 0.$ وبعد بشكل ملحوظ $س = 0.$ - الجذر الوحيد للمعادلة.

2) النظر في المعادلة $X ^ {2} -4 = 0$ وبعد هنا $ب = 0.$ وغيرها من المعاملات صفر ليست متساوية.

أسهل طريقة لتحلل الجزء الأيسر من معادلات المصنع من خلال صيغة الفرق المربع هو. نحن نحصل:

$\ اليسار (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right) = 0$

المنتج من مضاعتين هو الصفر إذا وفقط إذا كان واحد منهم على الأقل صفر.

هذا يعني $x = 2.$ أو $x = -2.$ .

3) إليك معادلة مماثلة: $X ^ {2} -5 = 0$ .

بقية as. $5 = \ left (\ sqrt {5} \ right) ^ {2}$ يمكن كتابة المعادلة في النموذج:

$\ اليسار (x- \ sqrt {5} \ right) \ left (x + \ sqrt {5} \ right) = 0$

من هنا $x = \ sqrt {5}$ أو $X = - \ SQRT {5}$ .

4) دع الآن $ب.$ ليس الصفر و $ج = 0.$ .

النظر في المعادلة $3x ^ {2} + 5x = 0$ .

الجزء الأيسر يمكن أن يكون متحللا على المضاعفات، وإدخال $عاشر$ بين قوسين. نحن نحصل:

$x \ left (3x + 5 \ right) = 0$ .

المنتج من مضاعتين هو الصفر إذا وفقط إذا كان واحد منهم على الأقل صفر.

هذا يعني $س = 0.$ أو $X = - \ FRAC {5} {3}$ .

تحلل مربع ثلاثة ميلان

$AX ^ {2} + bx + c = a \ left (x - x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right)$ .

هنا $x_ {1}$ и $x_ {2}$ - جذور المعادلة المربعة $الفأس ^ {2} + bx + c = 0$ .

تذكر هذه الصيغة. من الضروري لحل التفاوتات التربيعية والكسرية.

على سبيل المثال، معادلةنا $2x ^ {2} -3x-20 = 0$ .

جذوره $X_ {1} = 4$ , $X_ {2} = - 2.5$ .

$2x ^ {2} -3x-20 = 2 \ left (x-4 \ right) \ left (x + 2.5 \ right)$ .

Lifehaki مفيدة لحل المعادلات المربعة.

1) من الأسهل بكثير حل معادلة مربعة إذا كان معامل A، مضروبة في XX، إيجابيا. يبدو أن هذا تافه، أليس كذلك؟ ولكن عدد الأخطاء في الامتحان تنشأ بسبب حقيقة أن طالب المدرسة الثانوية يتجاهل هذا "تافه".

على سبيل المثال، المعادلة $-15x ^ ^ {2} + 11x-2 = 0$ .

من الأسهل كثيرا أن تضاعفها إلى 1 بحيث يصبح المعامل إيجابيا. نحن نحصل: $15x ^ {2} -11x + 2 = 0$ .

تمييزي لهذه المعادلة متساوية $11 ^ {2} -4 \ CDOT 15 \ CDOT 2 = 121-120 = 1$ .

معادلات الجذر $x_ {1} = \ frac {1} {3}، \؛ x_ {2} = 0.4$ .

2) قبل تحديد المعادلة المربعة، انظر إليها بعناية. ربما يمكنك قص كلا الطرفين من بعض الأجزاء إلى عدد لا يساوي الصفر؟

هنا، على سبيل المثال، المعادلة $17x ^ {2} + 34x-51 = 0$ .

يمكنك الاعتماد على الفور التمييز والجذور. ويمكن ملاحظة أن جميع المعاملات $أ، ب.$ и $جيم$ يتم تقسيمها إلى 17. كائنات كلا الطرفين من المعادلة إلى 17 عاما، نحصل على: